Программа дистанционных занятий весной 2012 года

Весна 2012 года.

Параметры в олимпиадных задачах.

• Пример: "Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений x²+y²+xy=a, x²–y²=b, где а и b - некоторые данные действительные числа."

Рекурренты в комбинаторике.

• Пример: "Рассмотрим шахматные доски со сторонами 2, 3, 4,... Требуется провести ладью из левого нижнего угла в правый верхний. а) Двигаться можно только вверх и вправо. б) Двигаться можно только вверх и вправо, не заходя при этом на клетки главной диагонали и ниже нее. (Ладья оказывается на главной диагонали только в начальный и в конечный моменты времени.) Сколько у ладьи существует таких маршрутов?"

Касание окружности.

• Пример: "Три окружности с центрами M, N, P касаются друг друга в точках A, B, C. Докажите, что окружность, описанная около треугольника ABC, совпадает с окружностью, вписанной или вневписанной в треугольник MNP. Разберите все случаи."   

Нелинейные диофантовы уравнения.

• Пример: "Решите в натуральных числах уравнение 3^x+4^y=5^z." 

Степенные ряды в алгебре, анализе и комбинаторике.

• Пример: "Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трех цифр его номера равна сумме трех последних. Найдите число счастливых билетов."

(+ Мартовская и Майская олимпиады!)