Программа дистанционных занятий осенью 2011 года

"Теория чисел". Делимость, оценки, остатки.

• Пример: Даны натуральные a и b такие, что число c=(a²+b²)/(ab+1) является целым. Докажите, что c – полный квадрат. либо равно единице.

"Последовательности". Задачи на счетные числовые наборы. Монотонность, ограниченность, периодичность, сходимость.

• Пример: Даны последовательность вещественных чисел x₁,x₂,x₃,... и натуральное число T. Докажите, что если среди всевозможных упорядоченных T-элементарных наборов вида (x_k+1,x_k+2,...,x_k+T) имеется не более T различных, то последовательность x₁,x₂,x₃,... периодична.

• Пример: Два конуса касаются одной сферы (вершина каждого конуса расположена вне другого). Докажите, что пересечение этих конусов расположено в некоторых двух плоскостях.

"Решётки". Задачи на параллелограмные решетки и распложенные на них фигуры. Параллелограммные решетки представляют из себя множество концов векторов {ma+nb}, где a и b фиксированные непропорциональные вектора, а m и n пробегают всевозможные целые значения.

• Пример: Не существует решетки, узлы которой не могут одновременно содержать вершины некоторого квадрата и вершины некоторого правильного треугольника.

"Многочлены". Арифметические, алгебраические и аналитические свойства многочленов.

• Пример: Многочлен степени n принимает целые значения в точках 0,1,4,...,n². Докажите, что он принимает целые значения во всех квадратах целых чисел.

(+Ноябрьская и Январская олимпиады!)