Математический практикум в школе им. А.Н. Колмогорова МГУ им. М.В. Ломоносова

ВСКОРЕ В СТАТЬЕ ПОЯВЯТСЯ НЕДОСТАЮЩИЕ ФОРМУЛЫ (обновлено 11.07.2008)

Имена классиков, которые фигурируют в самом названии статьи, столь значимы для России и становления системы научных исследований, организации среднего и высшего образования, что ко многому обязывают. Оба люди универсальных знаний, ученые – энциклопедисты, патриоты и гуманисты. Те семена, которые за два века до А.Н.Колмогорова посеял М.В.Ломоносов, взошли именно в Московском университете, основной традицией которого стал отбор талантов, создание условий для их развития, непосредственное участие в этом широкой научной общественности. Одно из самых плодотворных зерен, - создание гимназии при Московском университете; М.В.Ломоносов так говорил об этом: «При университетах должна быть гимназия, без которой университет как пашня без семени. Здесь следует преподавать школьные предметы так, чтобы вышедшие оттуда должны быть способны приступить к занятиям высшего порядка в университетах». Это зерно вновь заколосилось, когда по инициативе ведущих ученых страны – академиков А.Н. Колмогорова, И.К. Кикоина, И.Г. Петровского и при поддержке Академии наук в лице М.В. Келдыша в 1963 году при МГУ была создана физико-математическая школа - интернат.

Школа была открыта и задумывалась она, прежде всего, как школа научного творчества для молодежи, куда на конкурсной основе принимались и принимаются сейчас школьники из Центральной России. Школа небольшая (около 350 учащихся) - в ней только десятые и одиннадцатые классы; имеется как двухгодичный цикл обучения, так и одногодичный. Специализаций обучения в настоящее время пять: - физико-математическая, компьютерно - информационная, химическая, биологическая и биофизическая. Говоря о школе научного творчества мы имеем в виду не только профилирующие дисциплины. Так, выступая на одном из заседаний педагогического совета, основатель школы А.Н. Колмогоров специально выделял эту учительскую задачу: “Существенно, что здесь в интернате, школьники приходят в соприкосновение с творческой мыслью. Это наш запрос, но по всем предметам!.. Метод работы – имитация научного исследования, шаг за шагом находить, вычислять нечто…, а не давать готовенькое…”. В 1988 году на базе школы-интерната был организован Специализированный учебно-научный центр МГУ (куда вошла и школа), который стал самостоятельным структурным подразделением Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова со всеми его атрибутами: возникло звание “Учащийся Московского университета” с соответствующим удостоверением, правами и обязанностями, появились кафедры, ученый совет, выпускники школы при наличии рекомендации ученого совета Центра зачисляются в МГУ без экзаменов и т.д. Сама школа-интернат получила официальное название – школа имени академика А.Н. Колмогорова. Более подробно о самой школе им. А.Н. Колмогорова, ее целях и задачах, о системе организации учебного и воспитательного процессов, об истории ее развития можно составить достаточно полное представление из работ [1],[2],[3],[4],[13],[16],[36],[40] и многих других публикаций, ссылки на которые можно обнаружить в этих приведенных работах.

Школа им. А.Н. Колмогорова Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова обучает юношей и девушек, которые любят учиться и уже проявили стойкий интерес к углубленному изучению той или иной дисциплины. Ее основное предназначение состоит в создании условий для воспитания и развития у учащихся пытливого и творческого отношения к обучению, в подготовке их к обучению в вузе и к раннему приобщению к научной работе. Именно на это направлены основные усилия всего преподавательского коллектива и администрации школы.

Здесь, в этой работе, речь идет только об одной составляющей этой работы - о математическом практикуме, об его конкретных заданиях и некоторых методических вопросах с ними связанных. При этом, говоря о математических экспериментах (различных заданиях практикумов), мы имеем в виду не только те вопросы постановки математического образования, где соприкасаются (или сливаются) математика и информатика, но и просто о чертежах, расчетах, графиках, схемах, построениях моделей, составлении таблиц, решении задач и т.д. Кроме того, преследуются и более серьезные цели: «привить вкус к конкретной, реальной математике, иллюстрировать наиболее тонкие теоретические разделы курса, показывать силу только что освоенных методов при решении практических задач». ([4])

Задания практикума состоят из одной или нескольких ступеней: от очень конкретной до исследовательской. Начальная часть обязательна для всех учащихся, исследование – только для желающих; задания зачастую содержат темы творческого характера для проведения самостоятельных исследований. Довольно значительный промежуток времени в учебном плане школы был отдельный предмет (1970-1988), который так и назывался “Математический практикум”(и оценка за него заносилась в аттестат); при этом, был предусмотрен один лекционный час в основной сетке расписания (на изложение теоретического материала и постановку заданий) и время на консультации и прием заданий (за основной сеткой). Все задания для учащихся индивидуальны, что достигается выбором значений исходных параметров; правда, в тех случаях когда работа велика, класс разбивается на группы. Во времена чрезмерного увлечения “гуманитаризацией средней школы”, введения в учебный план информатики вместо 12 часов в неделю на математику в сетке часов осталось только девять. На мой взгляд это было серьезной ошибкой (и сейчас трудно исправимой) – в специализированной школе при МГУ такого уровня, с хорошими преподавателями, с хорошо организованными и согласованными курсами по естественным дисциплинам перенести изучение многих тем математических курсов за основную сетку занятий недопустимо. Уменьшение часов сказалось и на математическом практикуме. В настоящее время только отдельные преподаватели уделяют ему должное внимание с теми же исходными методическими установками. Попутно отметим, что программы по информатике содержат некоторую составляющую “вычислительного практикума”, но соответствующие задания служат несколько другим целям.

Это А.Н. Колмогоров, со всей настойчивостью, реализовал сначала в университете, а затем и в школе при МГУ такое нововведение в нашей стране. Он сам и руководил, поначалу, этими практикумами, сам придумывал новые постановки задач, используя, при этом, зачастую самые современные научные достижения. Именно эта конкретная и вычислительная работа (плюс постановка задач) при выполнении заданий математического практикума не на словах, а на деле показывает силу математических методов исследований в различных областях человеческой деятельности, осуществляет прикладную составляющую математического образования в школе и реализует межпредметные связи. Общие установки при создании математического практикума в школе А.Н. Колмогоров описывал так (см. [9]): “Часы математического практикума, проводящегося, в идеале, одновременно для всего потока (в школе имелся тогда только физико-математический профиль; классы делились на потоки – в них работала одна группа преподавателей математики – курсив автора статьи), используются частично для унификации требований к различным классам письменных работ, состоящих из серии задач обычного школьного типа. Но в основном эти часы отводятся для выполнения работ большого объема, требующих больших вычислений и чертежного оформления. Например, фактически осуществляется программа оценки числа Пи, после изучения в классе движения по циклоиде исследуются графически более сложные случаи сложения движений, находятся и изображаются графически системы дифференциальных уравнений последовательного радиоактивного распада… В проведении практикума участвуют преподаватели, работающие в классах, но отдельная небольшая группа преподавателей его организует и готовит для него материал”.

Расскажем сначала о заданиях тех практикумов, которые упоминает А.Н. Колмогоров в предисловии к книге [9], а потом и о некоторых других. Самый первый практикум был предложен А.Н. Колмогоровым на лекции по комбинаторике для учащихся (тогда) девятых классов и скорее являлся домашним упражнением на закрепление лекционного материала (следует иметь в виду, что лекции по математике у нас одночасовые и «сильно не разбежишься»).

Практикум № 1.

Задание. Сколькими способами можно отобразить множество из m элементов, на множество из n элементов?

Сейчас такое задание МП у наших школьников может вызвать только улыбку, т.к. комбинаторная часть обязательного алгебраического курса в школе довольно насыщена и содержит такие задачи в качестве простых упражнений. Однако нужно иметь в виду, что это задание выдавалось в 1965-68 годах, когда основная масса учащихся еще практически не встречалась с комбинаторными задачами и понятием функции как отображения. Потом, давая такое задание, мы предполагали подведение его итогов с доказательством общей формулы. А также то, что дальнейшая группа комбинаторных задач на обязательных занятиях будет посвящена изучению отображений конечных множеств, изучению симметричных, рефлексивных и транзитивных отношений на конечных множествах и т.д.

Любопытно, что при получении задания ученику выдавался листок с подробно написанным решением такой задачи: «Альберт, Бобби и Смит хотят познакомиться (каждый) с одной из девушек: Дианой и Елен. При этом после состоявшегося знакомства оказалось, что с каждой из девушек кто-то познакомился. Каким количеством способов они могут познакомиться? Другими словами, сколько существует отображений множества из трех элементов на множество из двух элементов?».

Так что, начался математический практикум в школе – интернате №18 физико-математического профиля при МГУ с Альберта, Бобби, Смита, двух девушек и их желания познакомиться.

Число Пи

Задание. Найти приближенное значение числа p с точностью до 10^–3, проводя методом границ оценки на каждом шагу вычислений.

Это задание МП находится среди тех, на которых учащиеся знакомятся с техникой приближенных вычислений (абсолютная и относительная погрешности, верная цифра, правила для планирования приближенных вычислений с заданной точностью). Это задание также, одно из первых, которое подкрепляет тему «Действительные числа» в курсе математического анализа и служит пропедевтическим средством для получения в будущем правил для вычисления производных.

От учащихся требовалось получить три верных знака после запятой для числа Пи, используя периметры правильных вписанных в окружность радиуса 1/2 и описанных около нее многоугольников и формулы удвоения для их вычислений окружности. При этом составлялись таблицы приближенных значений этих периметров с обоснованными оценками точности всех вычислений. При сдаче практикума учащийся должен был проявить умения уверенно работать с приближенными величинами. Основная здесь трудность такова, что приходится находить квадратные корни с точностью, превышающей точность четырехзначных математических таблиц, общепринятых тогда в школе (заметим, что никаких «механизмов» для приближенных вычислений не использовалось).

Чтобы «оживить» этот числовой практикум (а школьники, в основной своей массе, не любят долгих арифметических вычислений, да еще и с известным ответом), заинтересовавшимся учащимся предлагалось уточнить расположение числа на интервале (p_n,q_n) с концами в уже вычисленных значениях периметров и численно проверить соотношение Х. Гюйгенса (см. [33])

lim_n->oo(q_n-p)/(p-p_n)=2,

которое порождает соответствующую приближенную формулу и позволяет, например, получить известные неравенства Архимеда, используя только правильные шестиугольники и двенадцатиугольники (а не девяностошестиугольники, как у Архимеда) – это производит очень сильное впечатление. Соответствующие числовые результаты позволяют сравнить и эффективности приближенных формул Архимеда и Гюйгенса. Сейчас такого практикума в школе нет, но в обязательном курсе геометрии на лекциях доказывается неравенство

p_n<p<r_n=2/3·p_n+1/3·q_n,

означающее, что число p при любом n находится в первой трети интервала (p_n,q_n). В курсе математического анализа (иногда на лекциях, чаще - на упражнениях) затем показывается, что имеют место соотношения

2lim_n->oon²(p-p_n)=lim_n->oon²(q_n-p)=C₁, lim_n->oon⁴(r_n-p)=C₂,

где 5 < C₁ < 6 , 28 < C₂ < 29.

Сопровождался этот практикум иногда и красивыми рисунками, когда на клетчатой бумаге при помощи 10 цветов (закрепленного за каждой цифрой), закрашиваются в определенной последовательности квадратики, отвечающие знакам бесконечной десятичной дроби для числа Пи; на обложке журнала “Квант” (№.2 , 1977) аналогичная картинка показана на паркете из правильных шестиугольников, эскиз которой был выполнен одним из наших школьников. Отметим, что некоторые из учащихся аналогичные картинки строили и для других констант (правда, для этого нужно было сначала где-то найти их приближенные значения с достаточным числом знаков), а затем их пытались каким-то образом сравнить; одним из ответов на возникающие у них вопросы и предложения явилась заметка [23].

Сохранился полный текст, который сопровождал задание этого практикума в 1971 году и раздавался в классах. Приведем его здесь полностью:

«Каждый ученик получает номер, равный остатку от деления на 12 его номера в классном журнале. Номера 1-6 и 7-12 объединяются в «Шестерки» – бригады. Каждая бригада сдает письменный отчет.

Отчет должен содержать описание рассказанного на лекции метода и, в частности вывод формулы

и оценки

,

удобочитаемые промежуточные вычисления и объяснение, почему ответ, полученный в результате приближенного вычисления все-таки дает строгую оценку числа

:

Ученики с номерами k вычисляют p_n:

k 1 2 3 4 5 6

n 6,12 24,48 96,192

k 7 8 9 10 11 12

n 8,16 32,64 128,256

Тот, кто не попал ни в одну бригаду, может объединиться с номерами 7 – 12 и вычислять р₅₁₂.

СРОК СДАЧИ ПРАКТИКУМА – 7 ОКТЯБРЯ»

Круговые циклоиды

Задание. Построить траекторию движения точки М подвижного круга радиуса r₂ , если он касается неподвижного круга радиуса r₁ внешним (внутренним) образом. Другими словами, построить эпициклоиду и гипоциклоиду при заданном отношении радиусов кругов.

Выполнение этого задания учащиеся начинают с самостоятельного вывода (из кинематических соображений) параметрического уравнения в виде

где - фиксированный вектор единичной длины и R^ - поворот вокруг начала координат на угол . Для построения круговых циклоид используется так называемый метод шарнирного параллелограмма с использованием методики, изученной при выполнении задания « Розы и розетки». В основе этой методики лежит приближенное построение по четырем точкам графика функции cos t на четверти периода; в точках 0, /8, /4, 3/8, /2 значения косинуса с точностью до 0,1 легко запомнить – они равны 1; 0,9; 0,7; 0,4; 0 соответственно. Методика проста, эффективна и легко запоминается.

Для желающих, предлагалось написать векторное уравнение трохоиды (траектория движения точки М, жестко связанной с катящимся кругом; например, когда точка М находится внутри круга) и привести графические примеры таких кривых.

Кривая (траектория), описываемая точкой М, жестко связанной с кривой Г₂, катящаяся без проскальзывания по другой, неподвижной кривой Г₁, называется рулетой. В качестве творческих заданий мы также предлагали исследовать рулеты, связанные с перекатыванием фигуры Г₂ по фигуре Г₁ в следующих случаях:

а) Г₁ и Г₂ – правильный многоугольник и отрезок (или наоборот);

б) Г₁ и Г₂ – правильные многоугольники (с одинаковым или различным числом сторон и возможно их разными длинами);

в) Г₁ и Г₂ – окружность и правильный многоугольник (или отрезок).

Во всех приведенных ситуациях существует много самых разнообразных вариантов. Интерес представляют замкнутые рулеты, типы которых в математической литературе в этих ситуациях не описаны.

Годографы

Задание. Дана вектор – функция

где значения параметров а, , ,, заданы; - единичный вектор, R^ -поворот на угол  вокруг начала координат.

а) Вычислить производные и провести аналитическое исследование вектор-функций ;

б) Построить годографы вектор - функции , скорости и ускорения ; около точек годографа отметить отвечающие им значения t. Все указанные годографы расположить на двух-трех листах (миллиметровой) бумаги. Аналитическое исследование и вспомогательные чертежи дать на дополнительных листах. Масштаб следует выбрать так, чтобы все три годографа имели примерно одинаковые размеры.

В аналитическое исследование входит определение радиусов обводов годографов, исследование вектор - функции на периодичность и отыскание периода, отыскание осей симметрии, выяснение свойств поворотной и переносной симметрии годографов, отыскание особых точек. Вычерчиваются годографы по точкам, взяв 15-20 точек на периоде поворотной или переносной симметрии.

Во-первых, отметим, что это задание матпрактикума включает в себя практикум “Круговые циклоиды” – поэтому, как правило, они оба для одного потока обучающихся не используются. А если, по каким –либо причинам, все же выдавалось задание о циклоидах, то в этом практикуме мы рассматриваем только трансляционно-инвариантные годографы (“развернутые циклоиды”: а0).

Более сложные задания состоят из построения

А) так называемых “циклоид Лагранжа”

;

С подобного рода кривыми приходится сталкиваться в астрономии – при изучении одновременного движения трех тел, например, Земли, Луны и спутника Луны.

Б) “Разворачивающихся циклоид”

Классификация кривых вида (А) и (Б) практически не разработана; исследование этих годографов – тема творческих заданий по данному матпрактикуму.

Радиоактивный распад

Задание. В результате радиоактивного распада атомы материнского вещества Х превращаются в атомы вещества Y, а атомы вещества Y в свою очередь превращаются в атомы вещества Z. Количества атомов этих веществ, не распавшихся к моменту времени t, обозначим соответственно через x(t), y(t) и z(t). Тогда эти количества связаны следующими уравнениями (k_i = ln2/T_i – периоды полураспада веществ X,Y,Z):

При начальных условиях х(0) = а, у(0) =0, z(0) = 0 найти функции x(t), y(t), z(t) и на одном листе миллиметровой бумаги построить их графики.

Определить t₀ при котором y(t) максимально; выразить t₀ через T₁ и T₂.

Впервые такое задание МП появилось в декабре 1969 года для учащихся девятых классов (ныне десятых) в поддержку вводного курса математического анализа, который читал А.Н. Колмогоров. Школьники проучились в стенах школы всего три месяца и до поступления в школу ничего из анализа не знали. Само задание ориентировано больше на интуитивные представления об экспоненте и числе Непера, о понятии дифференциального уравнения и его решении. Преследовались также цели развития имеющихся у школьников графических представлений (Графики строились по точкам с использованием логарифмических таблиц. Отметим, что самостоятельное построение небольших логарифмических таблиц было предметом отдельного практикума). Число е вводилось в разные годы по разному. Иногда как основание показательной функции, у которой в нуле производная равна единице (в этом случае экспонента вводилась как одно из решений уравнения х’(t) = x(t); именно такой подход затем был реализован в ряде школьных учебников). Чаще сначала вводился натуральный логарифм как площадь под гиперболой (тоже с акцентом на интуицию), а затем уже возникала экспонента. Именно тогда возникли идеи введения комплексной экспоненты через известный предел, но вместе со строгим доказательством формулы Эйлера, которые впоследствии мастерски реализовал А.А. Егоров; до сих пор мы широко используем эту методику.

Модель «Хищник – Жертва»

Задание. Для экологической модели Лотки – Вольтерра

при заданных коэффициентах и самостоятельно выбранных различных начальных условиях х(0) = х₀ ,у(0) = у₀, используя различные цвета построить траектории движения точки М = (х(t),y(t)).

Этот практикум находится в серии заданий по теме “Дифференциальные уравнения”. История его появления в 1972 году такова. Автор настоящих строк познакомился с этой классической моделью “хищник-жертва” и ее обобщениями во время пеших прогулок с А.Н. Колмогоровым в окрестностях его и П.С. Александрова дачи в Комаровке. Несколько раз затем эта тема обсуждалась уже в интернате, причем вместе с профессором В.М. Алексеевым, который в то время в школе читал лекции по математическому анализу и в университете активно занимался вопросами математической биологии. Тогда-то и было принято решение о создании практикума на “экологическую” тему (терминология в разговорах была различна: караси-щуки, овцы волки, овцы-волки-охотники и т.д.). Для реализации этой идеи Алексееву В.М. пришлось прочитать в вечерние часы две двухчасовые лекции на эту тему (напомним, что в интернате основные лекции по математике одночасовые), которые проходили в актовом зале школы при самой широкой аудитории – присутствовали не только те, для которых это нужно было, чтобы выполнить задание МП. На этих лекциях было рассказано и о работе А.Н. Колмогорова, в которой в рамках модели «хищник-жертва» допускалась еще и конкурентная борьба хищников за жертву. Автор присутствовал на этих лекциях и довольно подробно их записал, подготовил конкретные задания, а затем в течение месяца реализовывал выполнение и прием самого математического практикума.

Для построения требуемых кривых учащимся рекомендовалась методика, непосредственно заимствованная из знаменитой работы В. Вольтерра и которая затем многократно использовалась в других заданиях МП. При сдаче этого задания от учащихся требовалось умение доказать замкнутость траекторий, закон периодического цикла и закон сохранения средних. В МП «Изоклины» мы еще раз возвращаемся к этой модели, но уже в плане приближенного построения интегральных кривых и с акцентом на наглядную классификацию особых точек для дифференциальных уравнений с дробно-линейной правой частью. Кроме того, в нашей школе невозможно обойтись без разъяснений научного вклада А.Н. Колмогорова в этой области и поэтому, в частности, учащимся в качестве творческих заданий предлагалось на конкретных примерах проверить следующие результаты качественного характера: При различных соотношениях параметров соответствующей системы уравнений (модель хищник-жертва» с межвидовой конкуренцией) система может обладать двумя или тремя особыми точками. Одна из них находится в начале координат фазовой плоскости и всегда является узлом. Две другие могут быть седлом либо устойчивым или неустойчивым фокусом и узлом. Если стационарная точка – неустойчивый фокус, то вокруг него могут существовать предельные циклы – устойчивые периодические колебательные решения.

В 1925 году А. Лотка выпускает книгу «Элементы физической биологии», в которой он отталкиваясь от моделей химической кинетики приходит к такой же системе дифференциальных уравнений, как и В. Вольтерра (и раньше его). Поэтому рассказы о работе Лотки, о задачах химической кинетики и реакции Белоусова – Жаботинского всегда сопровождают этот МП и создают определенную атмосферу поиска; так, например, по этой «химической теме» Майоров Роман в 1995 году не только повторил в стенах школы подобную реакцию, но и показал, что в соответствующей математической модели (им рассмотренной и разумной), имеется колебательное решение с особой точкой типа «устойчивый фокус». По итогам этих исследований он занял I место на международной конференции школьников в г. Черновцы.

Кривые Уатта.

Шарнирный механизм, о котором здесь идет речь, был предложен выдающимся английским изобретателем Джеймсом Уаттом в 1774 году, когда он работал механиком университета в Глазго и решал такую чисто практическую задачу по совершенствованию паровых двигателей: как связать поршень с точкой махового колеса, чтобы вращение колеса сообщало поршню прямолинейное движение ?

Пусть О₁А₁А₂О₂ – трехзвенный шарнирный механизм, который состоит из трех прямолинейных стрежней О₁А₁, А₁А₂ , А₂О₂ (O₁O₂ = 2l, О₁А₁ = О₂А₂ = R, A₁A₂ = 2d); при этом, точки О₁ и О₂ закреплены, но все три, указанные выше, стрежня могут вращаться вокруг точек О₁, А₁ , А₂ , О₂ , т.е. во всех этих точках стержни соединены шарнирами (механизм Уатта).

Тщательно изучив движение середины М стержня А₁А₂ Д. Уатт, чисто эмпирически, определил параметры шарнирного механизма l, R, d, для которого кривая, которую описывает точка М имеет “продолжительные” участки, незначительно отклоняющиеся от прямой линии.

Задание. Даны параметры плоского механизма Уатта: l, R, d.

1). При помощи циркуля и линейки построить кривые Уатта, описываемые серединой M стержня А₁А₂ .

2) Определить длину L наибольшего участка каждой из построенных кривых, отличающегося от отрезка прямой менее чем на 5%; найти параметры l₀, r₀, a₀ механизма, которые давали бы подобный участок длины L₀ = 0,3м.

Данное задание раздается учащимся сразу, как только они приступают к изучению темы “Функции и графики”, т.е. когда рассматриваются различные способы задания функций. При построении кривых Уатта используются две равные окружности с центрами О₁ , О₂ и радиусом R: если точка А₁ расположена на первой окружности и для нее найдется точка А₂ второй окружности и такая, что А₁А₂ = 2d, то точку М легко построить.

В качестве творческих заданий учащимся предлагалось найти уравнение кривой Уатта в декартовой и поляной системах координат; доказать, что существует всего 12 различных типов таких кривых (l – масштабный параметр), включая и вырожденные случаи. Кроме того, предлагалось изучить кривые, которые описывает точка М, не являющейся серединой А₁А₂; изучить аналогичное семейство кривых для несимметричного механизма Уатта. Для очень активных учащихся предлагалось рассмотреть инверсоры Поселье, Гарта и дельтоид Кемпе, вплоть до общей теоремы о том, что для любой алгебраической кривой можно построить шарнирный механизм, состоящий из стержней, одна точка которого будет описывать данную кривую; такая теория важна в приложениях (луноход, роботы, станки и т. д).

У этой темы богатая история и рассказ об этом вызывает естественный интерес у школьников. Шарнирными механизмами много и плодотворно занимался замечательный русский ученый П. Л. Чебышев, который в связи с этими исследованиями разработал новый раздел теории функций – теорию наилучших приближений. Он собственноручно изготовил множество самых разнообразных шарнирных механизмов (соответствующие фотографии показываются учащимся): пресс, стопоходящую машину, гребную лодку и т.д.

Мензульная съемка на местности

Задание. При помощи планшета (горизонтальная доска с прикрепленным листом бумаги) и визирной линейки (два гвоздика на линейке) не производя никаких измерений реальных расстояний и углов снять план местности в условном масштабе.

Провести оценку точности в определении положений некоторых точек на планшете.

Работа непосредственно примыкает к изучению преобразований гомотетии (подобия) в девятых классах массовой средней школы и большинству школьников представляется неожиданной и интригующей. Отметим, что практически все учебные пособия для массовой школы содержат задачи на измерение недоступного расстояния между доступными точками, измерение расстояния до недоступной точки, измерение расстояния между двумя недоступными точками и другие варианты этих задач, имеющих важное значение в реализации принципа обучения о совершенствовании прикладной направленности учебных математических курсов. Это задание у нас в школе было особенно популярным в тот период, когда в нее поступали учащиеся на трехгодичное обучение (сейчас только двухгодичное обучение).

Теоретические основы работы нашим школьникам хорошо известны и поэтому важным элементом здесь является именно реальная задача на конкретной местности. В качестве реальных работ предлагались следующие: измерить расстояние от школы до видимого шпиля здания МГУ, снять план местности, где проходит общешкольная туристическая звездочка (Тучково, Дорохово,.. в Подмосковье), снять план местности окрестностей, где проходила летняя школа для поступающих в нашу школу (Рубское озеро, 50 км. от г. Иваново) и некоторые другие. Об этой последней «картографической работе» со всеми подробностями, впечатлениями и эмоциями рассказано в книге [7]. Свою короткую заметку о математическом практикуме А.Б. Сосинский в одной из небольших брошюр о школе закончил впечатлениями об этом практикуме так: “…Вспоминаю холодный солнечный осенний день, группу ребят вокруг штатива с планшетом; где-то около интерната вдали виднеется шпиль университета, идет горячий спор о том, как лучше расположить базисный отрезок, куда наводить мензур. Мы тогда измеряли расстояние от интерната до университета.

Сейчас невольно думается, не произошел ли тогда квантово-механический эффект: в результате измерения не сократилось ли расстояние до университета?”

Графостатика.

Для того, чтобы познакомить учащихся с алгеброй и геометрией скользящих векторов, без которых невозможно обойтись в построении физических курсов, мы и предлагаем это задание практикума. В обязательной программе курса по геометрии соответствующего раздела нет. Эта тема с интересом изучалась (также в «практическом исполнении») учащимися двух летних школ в г. Пущино на Оке, организованной для желающих поступить в нашу школу.

Задание. а). Заметить данную систему скользящих векторов в пространстве на эквивалентную ей систему из меньшего числа скользящих векторов.

б) Построить веревочный многоугольник и найти равнодействующую данной системы скользящих векторов, расположенных в одной плоскости (т.е. определить направление и точку приложения).

б) При помощи диаграммы Максвелла - Кремоны графически определить реакции опор данной фермы и усилия в ее стержнях.

Установочная лекция по этому заданию МП практически всегда начинается с цитирования известной басни И.А. Крылова «Лебедь, Щука и Рак». После такого литературного экскурса и рассказов на конкретных примерах о теории веревочного многоугольника голландского инженера С. Стевина и ее развитии в трудах французского ученого П. Вариньона, о расчетах мостов и сводов, которые проводили в России французские инженеры и ученые Габриэль Ламе и Бенуа Клапейрон, о применении этой теории в трудах швейцарских профессоров П. Кульмана и Дж. Максвела в расчетах опорных реакций и изгибающих моментов балок и ферм, о вкладе итальянского математика А. Кремоны в графостатику собственно и рассказывать из теории (довольно простой) для выполнения этого любопытного и важного задания нечего. Более того, в 1985 году была опубликована в журнале «Квант» статья «Геометрия скользящих бывших преподавателей школы Ю.П. Соловьева и А.Б. Сосинского, в которой по - существу изложены материалы одной из наших летних школ Пущино – 80 и нашего практикума, проводимого в стенах школы. Ясно, что при обсуждении итогов практикума доказывалась правота Крылова – воз будет вращаться (при разумном выборе сил) вокруг некоторой точки и не сдвинется с места. Отметим, что каждый учащийся получает для расчетов свою ферму и свои наборы векторов.

Группа изометрий

Задание. Описать группу изометрий для правильной прямой призмы и указать минимальное число образующих этой группы. Составить таблицу умножения в этой группе.

Пример выполнения этого задания для треугольной призмы можно описать так. Обозначим грани: 1 и 2 – основания, а 3,4,5 – боковые грани. Рассмотрим прямую, проходящую через центры оснований и обозначим через А поворот по часовой стрелке относительно этой прямой (оси) на угол 120⁰. Через В обозначим преобразование симметрии пространства относительно плоскости, проходящей через боковое ребро призмы и центр противоположной грани. Наконец, рассмотрим симметрию С относительно плоскости, равноудаленной от плоскостей верхнего и нижнего оснований призмы. Тогда эти три преобразования (для вершин призмы) могут быть записаны так:

, , .

В искомой группе изометрий призмы эти преобразования являются образующими и они представляют минимально возможное их число (при сдаче МП эти все утверждения школьниками обосновываются). Различных изометрий в группе всего 12:

G = { E, В,А, АВ, A², A²B, C, CB,CA,CAB,CA²,CA²B};

тем самым,

На основе этих данных составляется таблица умножений в группе G, которую здесь мы приводить не будем.

Многогранники

Задание. Дан чертеж (рисунок) полуправильного или правильного многогранника Р (см. книгу М. Венниджера «Модели многогранников»).

а) Начертить развертку этого многогранника.

б) Изобразить диаграмму Шлегеля (граф центральной проекции) данного многогранника.

в) Изготовить из плотной бумаги модель многогранника М (используя рецептуру из той же книги).

г) Раскрасить грани модели (и многоугольные области на диаграмме Шлегеля) в четыре цвета так, чтобы грани, имеющие общее ребро, были окрашены разным цветом.

д) Описать группу G_M вращений многогранника М: найти число ее элементов N_M; указать все типы осей поворотов (на рисунке многогранника и его модели), порядок осей и число осей каждого порядка.

Развертка, раскрашенная диаграмма и рисунок многогранника с указанными осями поворотов изображается на основном листе в достаточно большом масштабе. Там же приводится таблица осей поворотов. Модель многогранника, в цветном исполнении, изготавливается одна на двух учащихся.

Развертка и диаграмма чертится по возможности симметрично. Диаграмму удобно рисовать, имея перед собой уже изготовленную модель. Учащимся рекомендуется (для изучения группы вращений) сначала понять, как данный полуправильный многогранник связан с каким – либо правильным многогранником (на уровне подсказки – название многогранника). Нужные раскраски проводятся методом «проб и ошибок». Модель многогранника изготавливается по развертке или последовательно склеивается из граней.

Задание выдается одно на двоих учащихся. При этом, мы предлагаем (в обязательной части) только платоновы и архимедовы тела: октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, 4-угольная антипризма, усеченный октаэдр, усеченный куб, кубооктаэдр, ромбокубооктаэдр, псевдоромбокубооктаэдр Ашкинузе, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный додекаэдр, икосододекаэдр, ромбоикосододекаэдр, усеченный икосододекаэдр, курносый куб, курносый додекаэдр.

В качестве творческих (или дополнительных) заданий предлагалось перечислить все тела Пуансо и изготовить их модели; предлагалось также изучить вопрос о выпуклых параллелоэдрах – также с изготовлением их моделей. Многие из учащихся выражают желание построить модели более сложных многогранников (одно время в школе была коллекция моделей всех полуправильных многогранников и их звездных форм и некоторые другие. Жаль, что она со временем погибла). Сама тема и изготовленные руками школьников модели доставляют преподавателю много возможностей для любопытных и интересных исторических экскурсов.

Исторически этот МП возник из таких трех заданий первых лет существования школы (они имели порядковые номера 8, 9 и 10):

а) Найти двугранные углы полуправильного многогранника (точный ответ и приближенный ответ в градусах). Описать построение его проекции на плоскость. Описать группу вращений данного многогранника.

б) Построить проекцию додекаэдра на горизонтальную и вертикальную плоскости. Повернуть многогранник относительно «вертикальной» оси на 17⁰ и спроектировать его на те же плоскости. Повернуть многогранник на 21⁰ относительно «горизонтальной» оси и спроектировать его на те же плоскости. Натуральная величина ребра многогранника должна составлять 4 см.

в) Построить модель данного многогранника в произвольном масштабе.

Учащимся выдавался (и вывешивался для всеобщего обозрения) образец выполнения первых двух из этих заданий, а готовая модель додекаэдра практически всегда была под рукой в готовом виде (поэтому речь шла только о возможных способах изготовления модели).

Две проекции

Задание.а) Задана одна из одиннадцати возможных плоских мозаик (правильный паркет на плоскости). Построить ее параллельную и центральную проекции на другую плоскость, задав проекцию, одного из правильных многоугольников. Полный каталог мозаик см. в [11].

б) Построить при помощи заданной параллельной и центральной проекций плоское изображение какой-либо фигуры, составленной из кубиков (самостоятельно придуманной!).

в) Построить центральную проекцию окружности на плоскость для трех различных случаев взаимного расположения центра проекции, соответствующих эллипсу, параболе и гиперболе. Для построения выбрать на окружности не менее 16 точек.

В каждом из заданий на основном листе оформляется итоговый результат работы с ясно выделенными элементами (с использованием различных цветов), определяющими (задающими) полноту изображения. На вспомогательных листах приводятся все (или многие) дополнительные и необходимые построения.

Первые два пункта задания нацелены на то, чтобы закрепить основные свойства параллельной, центральной проекций, понятие изображения фигуры и содержания теорем Польке - Шварца о проекциях треугольника и тетраэдра.

Третий пункт задания знакомит учащихся с определением кривой второго порядка как проекции окружности. Методика изготовления чертежей состоит в том, что поворачивая плоскость, в которой находится проектируемая окружность, до совпадения с плоскостью изображения (поворот осуществляется вокруг линии пересечения) мы получаем задачу на построение, которая уже только при помощи одной линейки позволяет построить сколько угодно точек соответствующей кривой второго порядка.

Много раз вводную лекцию по этому заданию практикума читал А.Н.Колмогоров (широко известна фотография, которая имеется в школе, когда он как - бы держит за вершину многогранник; снимок сделан а в ФМШ примерно в 1970 году). На своей лекции, в частности, он обсуждал со школьниками следующую задачу: семь точек на плоскости общего положения являются образами семи вершин каркасного “кубоида” (многогранник типа куба, в котором, вообще говоря, нет различных параллельных сторон и граней) после некоторого центрального проектирования. Как при помощи только одной линейки построить точку, куда проектируется восьмая вершина «кубоида»? Такой шестигранник и эту задачу мы использовали также при проведении МП «Сечения многогранников». На занятиях геометрического кружка, которым руководил А.Н. Колмогоров в этот период рассматривался вопрос о правильных паркетах, на котором участниками кружка доказывалось (!), что таких различных паркетов ровно одиннадцать.

Алгоритм Евклида

Задание. а). На целочисленной решетке Z² отметить те ее узлы, координаты которых являются решениями уравнения вида 3х + 5у = с для различных значений с.

б) Построить фрагменты ломаных (в алгоритме “вытягивания носов”), которые соответствуют разложению в цепную дробь данного иррационального числа  и на этом примере проверить (установить) три основных свойства подходящих дробей.

Этот интересный и важный практикум используются, как правило, не во всех классах. Акцент здесь делается на то, что алгоритм Евклида используется в математике не только для нахождения НОД двух чисел, но и в задачах разбиения прямоугольника на квадраты, для разложения чисел в непрерывные дроби. Общая же идея поиска общей меры находит потом еще одну реализацию в школьной программе обучения в курсе математического анализа при изучении бесконечных периодических и непериодических десятичных представлений, т.е. в теории действительного числа. Геометрический “носатый характер” этого древнего арифметического алгоритма на решетке (например, на клетчатой бумаге) был отмечен Ф. Клейном, а само это яркое название принадлежит нашему выдающемуся геометру Б. Н. Делоне, который эффективно использовал геометрические свойства алгоритма Евклида в ряде важных и трудных задач теории чисел.

Эти задания пользуются у учащихся значительным интересом и поэтому не случайно, что несколько из них только в последнее время подготовили доклады для участия в школьных научных конференциях: «Равноугольные и равносторонние многоугольники на решетках и правильных паркетах», «Окружности на решетках» и т.д; более подробно см. в [].

Латинские квадраты

Задание. а) Построить полные наборы ортогональных латинских квадратов порядков 3, 4, 5 и 7.

б) Изготовить цветную аппликацию для греко-латинского квадрата пятого порядка.

в) Построить шесть пучков параллельных прямых аффинной плоскости на двадцати пяти точках.

Латинским квадратом порядка n называется квадратная таблица, которая содержит в каждой строке перестановку элементов 1,2,…, n и эти перестановки выбраны так, что ни один столбец не содержит повторяющихся элементов. Латинские квадраты (а_ij) и (b_ij) называются ортогональными, если все пары (a_ij,b_ij) различны (i,j = 1,2,…,n). Пример двух ортогональных латинских квадратов порядка 3 можно увидеть из такой таблицы (сама эта таблица называется греко-латинским или эйлеровым квадратом порядка 3)

Это задание МП было организовано в поддержку курса лекций по геометрии, которые читал А.Н. Колмогоров. Этот аксиоматический курс начинался с аксиоматики аффинной и проективной плоскостей, а на занятиях рассматривались задачи, связанные с конечными плоскостями.

Для тех порядков латинских квадратов, которые предложены в практикуме особых сложностей нет и, в принципе, даже в случае n = 7 при известном числе таких квадратов, можно перебором выполнить п.а) задания (и такие учащиеся были). Однако мы стремились к тому, чтобы на установочных занятиях (или после выполнения заданий МП) были доказаны теоремы о том, что

- Число попарно ортогональных латинских квадратов порядка n  3 не превосходит n-1.

- Если n = p^, где р – простое и  - натуральные числа, то существует полный набор из n-1 ортогональных латинских квадратов порядка n.

- Каждое полное семейство попарно ортогональных квадратов порядка n порождает аффинную плоскость порядка n.

Другими словами, мы стремились к тому, чтобы учащиеся понимали связи между конечными полями Галуа и конечными аффинными плоскостями и методикой их установления. Сами доказательства были довольно традиционны в этих вопросах и с ними можно познакомиться в прекрасной книге Э. Артина «Геометрическая алгебра». Для поля Галуа из четырех элементов таблицы сложения и умножения школьникам сообщались, для других конечных полей простого порядка р элементы полей Галуа выбирались в виде полной системы вычетов по модулю р. Здесь уместно сказать, что на лекциях и на занятиях по алгебре традиционно всегда рассматривается арифметика остатков, конечные поля, кольца и, конечно, время выдачи такого практикума выбирается тогда, когда школьники или уже знакомы с необходимым минимум материала, или, наоборот, совсем незнакомы - тогда мы преследуем пропедевтические цели.

Интерес к этому практикуму у школьников велик и однажды группа школьниц, отказавшись от изготовления бумажной аппликации, сделала ее в форме изящной вышивки мелким крестом (которая у автора статьи бережно хранится).

В одной статье невозможно с достаточной степенью подробностей описать все задания математического практикума, которые мы проводили в стенах школы им. А.Н. Колмогорова при МГУ (их создавали и реализовывали А.Н. Колмогоров, И.Г. Журбенко, А.Б. Сосинский, А.М. Абрамов, В.В. Вавилов, А.Н. Земляков, В.Н. Дубровский, Н.М. Бовт, Т.Н. Трушанина и многие другие).. Поэтому ограничимся только перечислением тех тем заданий МП о которых выше речь не шла. О характере установочных лекций и образцах выполнения учащимися заданий можно судить по публикациям, указанным ниже в библиографии (особенно по работам [4],[5],[7],[14],[16],[18],[21],[24-34]).

Методы вычислений: Приближенное вычисление корней уравнений. Графические методы решений уравнений и систем. Метод Гаусса. Две задачи линейного программирования. Итерации. Метод секущих и касательных Ньютона. Номограммы.. Численное дифференцирование и интегрирование. Разностные уравнения. Дискретные гармонические функции. Непрерывные дроби. Задачи на клетчатой бумаге. Магические квадраты. Конечные поля и латинские квадраты. Неприводимые многочлены.

Функции и графики: Графики дробно-квадратичных рациональных функций. Фигуры Лиссажу. Циклоиды. Розы и розетки. Эволюты циклоидальных кривых. Кривые второго порядка. Пучок кривых второго порядка. Ортогональные семейства кривых.

Геометрия: Построение циркулем и линейкой. Сечения многогранников. Вычисление объемов и площадей. Орнаменты. Группы самосовмещений плоских фигур. Круговые преобразования плоскости. Теоремы Паскаля и Дезарга и построение при помощи одной линейки. Инверсия и построения при помощи только циркуля. Навигация. Расчет лунных затмений. Конечные аффинные и проективные плоскости и пространства.

Математический анализ: Интерполяция и сплайны. Квадратурные формула Гаусса. Расчет полета многоступенчатой ракеты. Космические поезда. Диаграммы касательных. Прыгающий мячик. Изоклины. Фазовые портреты. Теория часов. Полет диска в сопротивляющейся среде. Динамическое программирование. Аэродинамическая задача Ньютона. Тригонометрические многочлены и ряды Фурье. Профили собственных колебаний натянутой нити с бусинками.

Комплексный анализ: Дробно-линейные преобразования. Расположение комплексных корней многочлена, зависящего от параметра. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Линии равного модуля и аргумента. Области однолистности многочленов. Фракталы.

Теория вероятностей: Доска Гальтона. Модель размножения и гибели. Случайные блуждания. Датчики случайных чисел. Криптография и расшифровка текстов.

Библиография:

1. Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове // М.: ФАЗИС, МИРОС, 1999.

2. КОЛМОГОРОВ в воспоминаниях. Редактор-составитель Ширяев А.Н.// М.:Физматлит, 1993.

3. Колмогоров А.Н. Математика – наука и профессия. Составитель Гальперин Г.А.//М.: Наука,1988.-88 с. (Библиотечка журнала «Квант», вып.64)

4. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В.,Тропин И.Т. Физико-математическая школа при МГУ.// М.: Знание, 1981. -64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия: Математика и кибернетика,.№5).

5. Колмогоров А.Н. О воспитании на уроках математики и физики диалектико-материалистического мировоззрения // «Математика в школе», (3)1978.

6. Колмогоров А.Н. Диалектико-материалистическое мировоззрение в школьных курсах математики и физики.// «Квант», 4(1980).

7. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Пухова Г.В., Смирнова О.С., Смирнов С.В. Летняя школа на Рубском озере // М.: Просвещение, 1971.

8. Колмогоров А.Н. Паркеты из правильных многоугольников.// «Квант», (3)1970.

9. Колмогоров А.Н., Гусев В.А., Сосинский А.Б., Шершевский А.А. Курс математики для физико-математических школ. // Из-во МГУ, 1971. - 223 с.

10. Колмогоров А.Н. Современная математика и математика в современном мире. // «Математика в школе», 26(1971), стр. 2-3.

11. Колмогоров А.Н. Общие проблемы математического образования в СССР, / «История математического образования в СССР» // Киев: Наукова думка, 1975.

12. Колмогоров А.Н. Группы преобразований // «Квант», (10)1976.

13. Колмогоров А.Н., Вавилов В.В. ФМШ при МГУ – 15 лет // «Квант», (1)1979.

14. Колмогоров А.Н., Журбенко И.Г., Прохоров А.В., Введение в теорию вероятностей.// -М.: Наука, 1982, 160 стр. (Библиотечка журнала “Квант”, вып.23).

15. Вавилов В.В. Школа математического творчества. //М.: РОХОС, 2004. -72с.

16. Вавилов В.В. Школа им. академика А.Н. Колмогорова Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова .// В книге «Сборник статей ко дню рождения А.Н. Колмогорова» (Ред. коллегия: А.А. Часовских, В.В. Вавилов, А.Н. Качалкин, Е.В. Шивринская). //М.: Научно-технический центр «Университетский», 2003. -150с.

17. Вавилов В.В. Многоугольники на решетках. // М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, «Самообразование», 2002.- 56с.

18. Вавилов В.В., Итерации радикалов.//М. Школа им А.Н.Колмогорова, «Самообразование», 2000. - 20 с.

19. Вавилов В.В., Радикалы правые, левые и нейтральные.//М. Школа им. А.Н.Колмогорова, препринт 1995 года. - 28 с.

20. Вавилов В.В., Изобретатель криволинейных координат.//М. Школа им. А.Н.Колмогорова, «Самообразование», 2000. - 24 с.

21. Вавилов В.В., В.А.Бахтина, Спецкурсы по математике.//М.: Школа им. А.Н.Колмогорова, «Самообразование», 1999.-56 с.

22. Вавилов В.В., Избранные лекции по геометрии.//Алматы, РНПЦ «Дарын», 1999,- 84 с.

23. Вавилов В.В. Число Пи и роман “Война и мир”. // “Квант”, 2(1977).

24. Вавилов В.В. Сечения многогранников.// “Квант”, 10(1978).

25. Вавилов В.В., Земляков А.Н. Из опыта работы летней физико-математической школы при МГУ // «Математика в школе», (4)1978.

26. Вавилов В.В. Сетчатые номограммы // «Квант», (6)1978.

27. Вавилов В.В. Геометрия круга // «Квант», (6)1977.

28. Вавилов В.В. Шарнирные механизмы. Кривые Уатта // «Квант», (1)1978.

29. Вавилов В.В., Мельников И.И. Касательная // «Квант», (5)1978.

30. Вавилов В.В., Земляков А.Н., Учебные задания по математике. Практические работы № 1-2 //Ротапринт НИИ СИМО АПН СССР, 1977.-23с.

31. Вавилов В.В., Земляков А.Н., Учебные задания по математике. Практические работы № 3-6 //Ротапринт НИИ СИМО АПН СССР, 1977.-38с.

32. Вавилов В.В., Земляков А.Н., Учебные задания по математике. Практические работы № 7-10 //Ротапринт НИИ СИМО АПН СССР, 1978.-47с.

33. Вавилов В.В. Об одной формуле Христиана Гюйгенса. // «Квант», 11(1985)., «Квант», 4 (1998), «Quantum», 2(1993).

34. Вавилов В. В. Эволюта и эвольвента. // «Квант», 7(1981).

35. Вавилов В.В. Об одной дискуссии П.Л. Капицы и А.Н. Колмогорова. // Журнал ФМШ, 1(1996).

36. Вавилов В.В., Егоров А.А., Русаков А.А. Школа научного творчества. // «Квант», 5(2004).

37. Вавилов В.В. Школьные Харитоновские чтения. // Газета «Математика» издательского дома «Первое сентября», 18(2004).

38. Гнеденко Б.В. Политехнические аспекты преподавания математики в средней школе // «Математика в школе», (6)1974.

39. Гнеденко Б.В. Математика и математическое образование в современном мире // М.: Просвещение, 1985, -192 с. (Б-ка учителя математики).

40. Сборник статей ко дню рождения А.Н. Колмогорова (Ред. коллегия: А.А.Часовских, В.В. Вавилов, А.Н. Качалкин, Е.В. Шивринская). //М.: Научно-технический центр «Университетский», 2003. -150с.