май 2007 года

184. Дан треугольник АВС, угол В равен 120^о. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке Р. Биссектриса внешнего угла при вершине С пересекает прямую АВ в точке Q; R - точка пересечения прямых BC и PQ. Доказать, что угол ARP равен 30^о.

185. Действительные числа a,b,c,d таковы, что

f(x) = 1 + a sin x + b cos x + c sin 2x + d cos 2x >= 0

при любом значении х. Доказать, что f(x) <= 3 для любого х.

186. В библиотеке n журналов размещены на k полках. На каждой полке первый журнал был переставлен за последний журнал этой же полки. Библиотекарь за одну операцию меняет местами два произвольных журнала (возможно на разных полках). Доказать, что наименьшее число операций, которое потребуется библиотекарю для расстановки журналов в исходном порядке, равно n-k.

187. Решить уравнение в целых числах

x³ + y³ = (2xy + 1)².

188. Существует ли в пространстве такое множество точек, что любая плоскость пересекает его по конечному непустому множеству точек?