февраль 2008 года

213. В городе по улицам с односторонним движением ходят автобусы. Скажем, что остановка Y достижима из остановки Х, если Y отлична от X и от остановки Х можно доехать до остановки Y. Будем говорить, что Y следует за Х, если выполнены условия:

А) если Х достижима из А, то Y достижима из А;
Б) если А достижима из Y, то А достижима из Х.

Известно, что для любых двух различных остановок P и Q остановка Р достижима из Q тогда и только тогда, когда Р следует за Q. Доказать, что для любых двух различных остановок А и В верно ровно одно из двух утверждений:

1. остановка А достижима из В;
2. остановка В достижима из А.

214. Пусть P,Q,R - многочлены с действительными коэффициентами, такие что P⁴+Q⁴=R². доказать, что существуют действительные числа p,q,r и многочлен s такие, что P=ps, Q =qs, R=rs.

215. Пусть А - бесконечное множество натуральных чисел и таких, что каждое число а, принадлежащее А, представляется в виде произведения не более чем 1988 простых чисел. Доказать, что существует бесконечное подмножество В множества А и число р такие, что наибольший общий делитель любых двух чисел из В равен р.

216. Доказать, что для любых действительных чисел х₁, х₂ , х₃, х₄, х₅ можно найти такие числа у₁, у₂, у₃, у₄, у₅, что

А) у_k-x_k - целое, k = 1,2,3,4,5;
Б) сумма (у_i-x_j)² по всем 1<=i<j<=5 не превосходит 4.

217. Дан неравносторонний треугольник АВС (вершины перечислены против часовой стрелки). Найти геометрическое множество точек - центров таких равносторонних треугольников A’B’C’ (вершины также перечислены против часовой стрелки), для которых точки A,B’,C’ лежат на одной прямой, точки A’,B,C’ - на одной прямой, и точки A’,B’,C - на одной прямой.