октябрь 2006 года

149. Пусть О - центр описанной окружности остроугольного треугольника АВС и точка А₁ выбрана на наименьшей дуге ВС этой окружности. Обозначим через А₂,А₃ такие точки на сторонах АВ и АС (соответственно), что угол ВА₁А₂ равен углу ОАС и угол СА₁А₃ равен углу ОАВ. Докажите, что ортоцентр Н треугольника АВС принадлежит прямой А₂А₃.

150. Решить систему уравнений

xyz = 1,
x²y + y²z + z²x = 73,
x(y-z)² + y(z-x)² + z(x-y)² = 98.

151. Доказать, что произведение длин любых двух сторон треугольника не меньше, чем произведение диаметров окружностей вписанной и описанной около треугольника.

152. Доказать, что существуют сколь угодно большие натуральные числа N такие, что уравнение

x₁⁴+x₂⁴+...+x_n⁴=N

разрешимо в целых числах только при n>=16.

153. На плоскости проведено n прямых, n>=3, причем никакие две из них не параллельны и все они не имеют общей точки. Доказать, что

а) существует такая точка пересечения прямых, через которую проходят ровно две прямые;

б) число точек, фигурирующих в п.а), не меньше трех.