сентябрь 2003 года

01.09.2003, Вавилов В.В.

16. Дан треугольник АВС. Точки D, E и F, отличные от вершин треугольника, лежат на сторонах ВС, СА и АВ соответственно. Доказать, что если около четырехугольника AFDE можно описать окружность, то

4 [DEF] / [ABC] <= (EF/AD)².

17. Доказать, что при любом натуральном n имеет место неравенство

(2n²+3n+1)ⁿ >= 6ⁿ (n!)².

18. Доказать, что ни одно из чисел вида

a_n=1001001...1001, n >= 2

не является простым числом; здесь n обозначает число единиц в записи числа а_n.

19. а) Математик R сказал математикам P и S: “Я задумал два натуральных числа. Каждое из них больше единицы, а сумма их меньше 100. Математику P я сейчас сообщу - по секрету от S - произведение этих чисел, а математику S я сообщу - по секрету от Р - их сумму”. Он выполнил обещанное и предложил отгадать задуманные числа. Между P и S произошел следующий диалог (высказывания Р мы обозначаем буквой p с индексами, высказывания S - буквой s):

- Я, пожалуй, не могу сказать, чему равны задуманные числа. (p₁)

- Я заранее знал, что Вы этого не сможете. (s₁)

- А ведь тогда я их знаю. (p₂)

- А тогда и я их знаю. (s₂)

Попробуйте теперь и вы отгадать задуманные числа.

б) Начало условия этой задачи - вплоть до (s₁) - то же, что и в а). Дальше диалог меняется:

- А я заранее знал, что Вы это будете знать заранее. (p₂)

- Я не знаю, чему равны задуманные числа. (s₂)

- А я тогда их знаю. (p₃)

Найдите задуманные числа.

20. Даны две сферы: S_A с центром А и S_B с центром В. Прямая p касается сферы S_A в точке A₁ и сферы S_B в точке B₁; прямая q касается сферы S_A в точке A₂ и сферы S_B в точке B₂. Доказать, что ортогональные проекции отрезков A₁A₂ и B₁B₂ на прямую АВ равны.