март 2003 года

11. Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел x,y,z таких, что

x³ + y⁵ = z⁷.

12. Доказать, что на плоскости существует равноугольный шестиугольник, стороны которого равны 5, 8, 11, 14, 23 и 29 в некотором порядке.

13. Для каждого натурального числа n, n>=2, найти функцию вида

f_n(x) = a_n + b_nx + c_n |x - D_n|,

где a_n, b_n, c_n, D_n зависят только от n и такую, что

f_n(k) = k + 1 для k = 1,2,3, ... ,n-1 и f_n(n) = 1.

14. Найти x²+y²+z², если натуральные числа x, y, z таковы, что

7x² - 3y² + 4z² = 8 и 16x² - 7y² + 9z² = -3.

15. На плоскости даны две точки, расстояние между которыми больше 1 км. При помощи только неразмеченной короткой линейки (с длиной меньше 20см) провести отрезок, соединяющий заданные точки.