март 2004 года

41. Многочлены Р(х) и Q(x) таковы, что P(x³) + Q(x³) делится на х² +х +1. Доказать, что P(x) и Q(x) делятся на (х – 1).

42. Даны k равносторонних треугольников со сторонами 1, 1/ 2, 1/3, …, 1/k. Каково наименьшее число а, при котором все эти треугольники можно без наложений поместить в равносторонний треугольник со стороной а?

43. Доказать, что d² + (b – a)² < c², где d - диаметр вписанной в треугольник окружности и a, b, c - его стороны.

44. Найти все функции целого аргумента f(x), которые при любых целых х и у удовлетворяют соотношению

f(x + y) + f(x – y) = f(3x).

45. Последовательность положительных действительных чисел а₁, а₂, а₃,... обладает следующим свойством:

a_n² <= a_n - a_n+1, n = 1,2,3,...

Доказать, что a_n<1/n при любом n.