февраль 2004 года

36. Пусть n >= 2 - целое число. Найти максимальное количество элементов в множестве М пар целых чисел (j,k), 1 <= j < k <= n, удовлетворяющих условию: если (j,k) принадлежит M, то (k, m) не принадлежит M при всех m.

37. На сторонах АВ, ВС и АС правильного треугольника АВС построены равнобедренные треугольники ABL, DCK и ACM, с углами при основаниях, равными соответственно 25^o, 20^o и 15^o, а точки L, K и M лежат внутри треугольника АВС. Обозначим через R, Q, P - точки пересечения прямых AL и CK, BK и AM, CM и BL (также соответственно). Найти углы треугольника PQR.

38. Докажите, что правильный 2к-угольник можно разрезать на ромбы.

39. Решить систему уравнений (а > 0)

х1 |х1| = х2 |х2| + (х1 – а) |х1 - а|,

х2 |х2| = х3 |х3| + (х2 – а) |х2 - а|,

………………………………….

xn |xn| = x1 |x1| + (xn – a) |xn - a|.

40. Доказать, что существует целое число n, удовлетворяющее системе неравенств

1 <= n <= 800,

|sin(n^1/2)| < 1/100.