π-теорема теории размерностей (к столетию доказательства)

Близится сто лет со времени доказательства одного из самых ярких и универсальных утверждений в механике и физике – π-теоремы теории размерностей, позволяющей, не решая начально-краевых задач и даже не располагая математическими моделями явлений, а только из соображений размерности выводить зависимости одних величин от других. Как выясняется, конкретную дату столетия назвать трудно, поскольку в мировой литературе по истории механики на протяжении всего XX века не было единого мнения относительно авторства доказательства π-теоремы.

В докладе рассказывается о размерностях физических величин, связанных с комбинациями единиц измерения – эталонных масштабов, служащих для измерения. Единицы измерения делятся на основные и производные. Вводятся классы систем единиц измерения как совокупности систем единиц измерения, отличающихся между собой только величиной, но не природой основных единиц. Формулируются леммы о степенном выражении размерности и об унарном выборе размерности. Определяется базис обезразмеривания как максимальный набор размерно независимых величин, через размерности которых степенным образом выражаются размерности всех остальных величин в задаче. Даётся формулировка π-теоремы, с чисто математической точки зрения означающей, что в природе все физические законы, связывающие одни величины с другими, описываются обобщённо-однородными функциями.

В качестве иллюстраций приведён анализ размерностей в двух задачах: распространение возмущений при сильном точечном взрыве в атмосфере и обтекание неподвижного шара потоком вязкой жидкости. Вводятся безразмерные числа Рейнольдса, Фруда, Струхаля. Затрагиваются вопросы масштабного моделирования и соблюдения критериев подобия в натурной и модельной системах.