Главная » Новости » Соревнования » LXXI Московская Математическая олимпиада

LXXI Московская Математическая олимпиада

25.03.2008, г. Москва

Подведены итоги LXXI Московской математической олимпиады. Учащимися СУНЦ завоевано два диплома I степени, семь дипломов II степени, тридцать четыре диплома III степени и сорок одна ПГ.

Подведены итоги LXXI Московской математической олимпиады.

Поздравляем школьников СУНЦ МГУ, успешно выступивших на олимпиаде:

диплом
I степени

диплом
II степени

диплом
III степени

похвальная
грамота

10 класс

Калашник Анна

Тренин Кирилл

Немиро Владислав

Ярославцев Иван

Буланкина Вера

Золотов Алексей

Карпушин Владимир

Клепова Анна

Король Олег

Нимак Владимир

Радонец Алексей

Антоненко Максим

Бершадский Ефим

Корепанова Наталья

Лыткин Антон

Лялин Игорь

Лямаев Сергей

Пичугин Владислав

Филиппов Ефим

Чумаченко Александр

Шестакова Мария

11 класс

Бочкин Георгий

Воробьев Илья

Парамонов Кирилл

Тихомиров Михаил

Шульчевский Дмитрий

Алескеров Имран

Артемов Эрнест

Гершгорин Роман

Дадашев Александр

Ерпылев Алексей

Зубков Илья

Зюзин Александр

Игнатьев Олег

Каниськин Сергей

Кириллов Александр

Кисловская Анна

Корчагин Антон

Кривоногов Сергей

Куликов Арсений

Лисицын Павел

Люпа Анастасия

Миликов Никита

Парамонов Сергей

Полиев Александр

Прочко Алексей

Рождественский Александр

Романов Евгений

Савинский Александр

Стародубцев Дмитрий

Цупков Сергей

Шапичев Алексей

Шебякин Даниил

Артюхин Станислав

Астафуров Глеб

Белошапко Вера

Ващенко Тимофей

Гусак Юлия

Еремкин Сергей

Каушанский Вадим

Квасов Дмитрий

Козлов Дмитрий

Кривенков Максим

Кузнецов Денис

Кукушкин Дмитрий

Лодин Александр

Макаров Михаил

Махров Антон

Михайлов Александр

Платонов Денис

Поздняков Иван

Савелов Максим

Садовой Иван

Синева Тамара

Степанов Евгений

Тарасовец Екатерина

Тлюстангелов Галим

Тумайкин Илья

Федотов Максим

Филимонов Алексей

Четин Константин

Чугунов Аркадий

Швецова Татьяна

Юрасова Мария

Условия задач олимпиады

10 класс

Задача №1. Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

Задача №2. Андрей и Борис играют в следующую игру. Изначально на числовой прямой в точке p стоит робот. Сначала Андрей говорит расстояние, на которое должен сместиться робот. Потом Борис выбирает направление, в котором робот смещается на это расстояние. И так далее. При каких p Андрей может добиться того, что за конечное число ходов робот попадет в одну из точек 0 или 1 вне зависимости от действий Бориса?

Задача №3. Все целые числа от -33 до 100 включительно расставили в некотором порядке и рассмотрели суммы каждых двух соседних чисел. Оказалось, что среди них нет нулей. Тогда для каждой такой суммы нашли число ей обратное. Полученные числа сложили. Могло ли в результате получится целое число?

Задача №4. Некоторый многочлен с целыми коэффициентами принимает в k целых точках значения среди чисел от 1 до k-1. Докажите, что если k≥6, то эти значения равны.

Задача №5. Высоты AA' и CC' остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка B₀ — середина стороны AC. Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных BB₀ и HB₀ относительно биссектрис углов ABC и AHC соответственно, лежит на прямой A'C'.

Задача №6. Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной четности зависит только от цветов слагаемых (например, полусумма синего и красного всегда жёлтая).

(а) Докажите, что полусумма чисел одной четности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
(б) При каких N такая раскраска возможна?

11 класс

Задача №1. Числа p и q таковы, что параболы y=-2x² и y=x²+px+q пересекаются в двух точках, ограничивая некоторую фигуру. Найдите уравнение вертикальной прямой, делящей площадь этой фигуры пополам.

Задача №2. Найдите наименьшее натуральное n, для которого число nⁿ не является делителем числа 2008!=1· 2·...· 2008.

Задача №3. На едином экзамене 333 ученика допустили в общей сложности 1000 ошибок. Возможно ли при этом, что учеников, сделавших более чем по 5 ошибок, оказалось больше, чем учеников, сделавших менее чем по 4 ошибки?

Задача №4. Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M. Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Задача №5. Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладется в ее конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите: а) наименьшее такое число, б) все такие числа.

Задача №6. Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A). Вначале лиса сидит в точке C, а зайцы — в точках B и D. Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v, а зайцы — по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?

Задача №7. Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника

а) больше, чем 1/4,
б) не меньше, чем 1/9,
в) не меньше, чем 1/7?

На отбор в команду г. Москвы на заключительном этапе Всероссийской олимпиады школьников по математике приглашены:

10 класс: Бершадский Ефим, Буланкина Вера, Немиро Владислав, Ярославцев Иван;

11 класс: Бочкин Георгий, Воробьев Илья, Ерпылев Алексей, Каниськин Сергей, Парамонов Кирилл, Тихомиров Михаил, Шульчевский Дмитрий.

Без отбора в команду Москвы включены:

10 класс: Калашник Анна (диплом I степени ММО), Радонец Алексей (персональное приглашение на основании диплома III степени ВМО 2007), Тренин Кирилл (диплом I степени ММО).

добавление от 02.04.2008

По итогам ММО, отбора в команду Москвы и участия в IV этапе (Кисловодск) следующие школьники прошли в команду на финал Всероссийской олимпиады по математике:

10 класс: Калашник Анна, Радонец Алексей, Тренин Кирилл, Ярославцев Иван;

11 класс*: Зубков Илья, Воробьев Илья.

Также в состав команды, в соответствии с критериями, мог бы пройти Шульчевский Дмитрий, но Дмитрий едет на финал Всероссийской олимпиады по физике.

Пожелаем ребятам УДАЧИ!!!

Финал Всероссийской олимпиады по математике состоится 19-24 апреля в г. Кисловодск.

Подробную информацию о Московской математической олимпиаде можно найти на сайте http://olympiads.mccme.ru/mmo/.