Кафедра математики

Поддержка и популяризация математического образования. Реализация проектов и программ обучения.


 

LXX Московская Математическая олимпиада

04.03.2007, г. Москва
Подведены итоги LXX Московской математической олимпиады. Учащимися СУНЦ завоевано шесть дипломов II степени, шестнадцать дипломов III степени и сорок шесть ПГ.

Подведены итоги LXX Московской математической олимпиады.

Поздравляем школьников СУНЦ МГУ, успешно выступивших на олимпиаде:

диплом
I степени

диплом
II степени

диплом
III степени

похвальная
грамота

10 класс

Каниськин Сергей

Кисловская Анна

Шапичев Алексей

Зюзин Александр

Парамонов Сергей

Парамонов Кирилл

Степанов Евгений

Тихомиров Михаил

Французенко Татьяна

Чугунов Аркадий

Шульчевский Дмитрий

Барышев Игорь

Батанов Павел

Белошапко Вера

Бобрик Ксения

Бугаев Константин

Волков Александр

Гершгорин Роман

Гусак Юлия

Дадашев Александр

Елхова Татьяна

Еремкин Сергей

Забавников Андрей

Кузнецов Денис

Липнягов Алексей

Лодин Александр

Прасолов Илья

Пьяных Артем

Романов Евгений

Садовой Иван

Синцев Владимр

Хаджиева Галина

Цупков Сергей

Юрасова Мария

11 класс

Андреев Александр

Погудин Глеб

Тихонов Юлий

Камзеев Дмитрий

Козлов Александр

Микушкин Марат

Сальников Всеволод

Смирнов Евгений

Фелицина Мария

Черников Александр

Яничиков Михаил

Антипов Григорий

Бахтин Семен

Волков Андрей

Вылегжанин Евгений

Годнева Анастасия

Грабарь Всеволод

Исламов Данил

Климов Кирилл

Королькова Анна

Критченкова Анна

Кузнецова Татьяна

Кукса Екатерина

Насыров Ренат

Ордин Андрей

Осипов Дмитрий

Падюкова Екатерина

Русаев Дмитрий

Рыбчинчук Олег

Чернов Владимир

Чумаченко Евгений

Шаповалов Иван

Шикунова Арина

Щигельский Денис


Условия задач олимпиады

10 класс

1. На сторонах единичного квадрата отметили точки K, L, M и N так, что прямая KM параллельна двум сторонам квадрата, а прямая LN — двум другим сторонам квадрата. Отрезок KL отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок MN?

2. Можно ли покрасить 15 отрезков, изображенных на рисунке, в 3 цвета так, чтобы никакие 2 отрезка одного цвета не имели общего конца?

graf

3. Существуют ли такие натуральные числа x и y, что x2+x+1 является натуральной степенью y, а y2+y+1 — натуральной степенью x?

4. Капитан Врунгель в своей каюте раскладывает пасьянс. Перетасованная колода из 52 карт разложена по кругу, одно место свободно. Матрос Фукс, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель передвигает ее на это место, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет еще одну карту, Врунгель совершает аналогичное действие, и так сколько угодно раз, пока Фукс не скажет «хватит». Фукс выиграет, если скажет «хватит» в тот момент, когда каждая карта окажется не на том месте, на котором была вначале. Может ли Фукс выиграть наверняка?

5. Треугольник ABC вписан в окружность с центром в O. X — произвольная точка внутри треугольника ABC, такая, что ∠XAB=∠XBC=φ, а P — такая точка, что PX⊥ OX, ∠XOP=φ, причем углы ∠XOP и ∠XAB одинаково ориентированы. Доказать, что все такие точки P лежат на одной прямой.

6. С ненулевым числом разрешается проделывать следующие операции:

x(1+x)/x и x(1–x)/x.

Верно ли, что из каждого ненулевого рационального числа можно получить каждое рациональное число с помощью конечного числа таких операций?

11 класс

1. Круглая мишень разбита на 20 секторов, которые нумеруются по кругу в каком-либо порядке числами 1, 2,…, 20. Если секторы занумерованы, например (как при игре в дартс), в следующем порядке 1, 20, 5, 12, 9, 14, 11, 8, 16, 7, 19, 3, 17, 2, 15, 10, 6, 13, 4, 18, то наименьшая из разностей между номерами соседних (по кругу) секторов равна 12–9=3 (из большего числа вычитается меньшее). Может ли указанная величина при нумерации в другом порядке быть больше 3? Каково наибольшее возможное значение этой величины?

2. Значение a подобрано так, что число корней первого из уравнений

4x-4-x=2cos ax, 4x+4-x=2cos ax+4
равно 2007. Сколько корней при том же a имеет второе уравнение?

3. Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1? Найдите все возможные значения этого произведения.

Примечание. В распечатанных для участников олимпиады вариантах эта задача была сформулирована чуть иначе.
3. Каким может быть произведение N нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1? Найдите все возможные значения N.

Возникающая неточность понимания была специально откомментирована во всех аудиториях.

4. Точка O лежит в основании A1A2…An пирамиды SA1A2… An, причем SA1=SA2=…=SAn и ∠SA1O=∠SA2O=…=∠SAnO. При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO — высота пирамиды?

5. Квадрат состоит из n x n клеток: две противоположные угловые клетки — черные, а остальные — белые. Какое наименьшее количество белых клеток достаточно перекрасить в черный цвет, чтобы после этого с помощью преобразований, состоящих в перекрашивании всех клеток какого-либо столбца или какой-либо строки в противоположный цвет, можно было сделать черными все клетки этого квадрата?

6. Точки A', B' и C' — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH — его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, отличную от H, то ∠ABM=∠CBB'.

7. Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника:

а) через 3 шага с точностью до 0,3;
б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?


На отбор в команду г. Москвы на заключительном этапе Всероссийской олимпиады школьников по математике приглашены:

10 класс: Каниськин Сергей, Кисловская Анна, Шапичев Алексей;

11 класс: Погудин Глеб, Тихонов Юлий, Андреев Александр.

добавление от 31.03.2007:

По итогам отбора в состав команды Москвы на заключительный этап Всероссийской олимпиады по математике включены:

  • Каниськин Сергей, 10 класс
  • Погудин Глеб, 11 класс
  • Тихонов Юлий, 11 класс - включен в запас


Подробную информацию о Московской математической олимпиаде можно найти на сайте http://olympiads.mccme.ru/mmo/.