март 2008 года

01.03.2008, Вавилов В.В.

218. Найти наименьшее действительное число С со следующим свойством: Для любой последовательности {xk} положительных действительных чисел, такой что

x₁^1/2+x₂^1/2+...+x_n^1/2<=C(x₁+x₂+...+x_n)^1/2, n натуральное.

219. Даны натуральные числа n и m.

А) Пусть (m,n) = 1. Доказать, что существуют целые числа a₁, a₂, ..., a_m и b₁, b₂, ..., b_n такие, что все числа

a_ib_j (i = 1,2,...,m; j = 1,2,…,n)

дают разные остатки при делении на число mn.

Б) Пусть (m,n) > 1. Доказать, что для любых чисел a₁, a₂, …, a_m и b₁, b₂, …, b_n есть два числа a_ib_j и a_sb_t (упорядоченные пары (i,j) и (s,t) не равны друг другу), которые при делении на число mn дают одинаковые остатки.

220. В треугольнике АВС на сторонах АВ, ВС и СА выбраны точки M,N,L соответственно. На сторонах треугольника MKL выбраны точки R,F,N (R - на стороне MK, F - на KL, N - на ML). Площади треугольников AMR, CRK, BNM, CNL, BKF, AFL, ABC обозначим соответственно через S₁, S₂, S₃, S₄, S₅, S₆, S. Доказать, что

(S₁S₂S₃S₄S₅S₆)^1/6 <= 1/8 S

221. Пусть действительные числа x,y,z таковы, что x²+y²+z²=2. Доказать, что

x+y+z <= xyz+2.

222. Назовем порядком строго возрастающую или строго убывающую последовательность цифр. (Например, в записи 024379 есть три порядка - 024, 43 и 379). Найти среднее количество порядков в последовательности цифр d₁, d₂, ..., d_n при n >= 2 по всем последовательностям, удовлетворяющим условию

d_k не равно d_k+1 , k = 1,2,...,n-1.