октябрь 2004 года

56. Схема железнодорожного узла изображена на рисунке

Он состоит из k разъездов, в которых N₁, N₂, ..., N_k железнодорожных веток. Справа к узлу приближается состав из m локомотивов, которые могут двигаться только справа налево. При каком наибольшем m локомотивы при прохождении железнодорожного узла могут перестроиться в любом порядке? В любой ветке может поместиться любое количество локомотивов.

57. Внутри сферы S с центром в точке О и радиусом R расположены точки А, В, С не лежащие на одной прямой так, что ОА перпендикулярно АВ, ОА перпендикулярно АС. Через точки А, В, С проведены две сферы радиусов R₁ и R₂, касающиеся сферы S. Доказать, что R₁ + R₂ = R.

58. Доказать неравенство

((a+b) / (c+d))^a+b <= (a/c)^a (b/d)^b,

где a > 0, b > 0, c > 0, d > 0.

59. На плоскости дан треугольник АВС. Если кузнечик находится в некоторой точке Х, то ему разрешается прыгать только в точки, симметричные точке Х относительно любой из прямых АВ, ВС или АС. Доказать, что из любой точки плоскости кузнечик может за конечное число прыжков заскочить внутрь треугольника АВС либо на его границу.

60. Рассмотрим числовую последовательность a₁, a₂, ..., где a₀=1 и при всех n >=1

a_n = a_[2n/3] + a_[n/4].

Найти lim a_n/n, если n стремится к бесконечности.