Главная » Конкурс решения задач » апрель - май 2004 года
апрель - май 2004 года
01.04.2004, 46. Найти все такие целые положительные числа k, для каждого из которых выражение
sin(kx) sinkx + cos(kx) coskx - cosk(2x)
не зависит от х.
47. Даны две непересекающиеся окружности с центрами О1 и О2. Построим окружность с центром на прямой О1О2, касающуюся двух первых внешним образом. Доказать, что третья окружность пересекает общие внутренние касательные к данным окружностям в четырех точках, являющихся вершинами четырехугольника, две стороны которого соответственно параллельны общим внешним касательным к данным окружностям.
48. Многочлены Р(Х) и Т(х) таковы, что Р(х3) + Т(х3) делится на х2+х+1. Доказать, что Р(х) и Т(х) делятся на х – 1.
49. В тетраэдре АВСD двугранный угол с ребром АВ равен двугранному углу с ребром DA. Доказать, что [ABD] = [BDC], [ABC] = [ADC] ( [F] – площадь F).
50. Найти наименьшее значение величины
max(x1 + x2 + x3, x2 + x3 + x4, x3 + x4 + x5, x4 + x5 + x6, x5 + x6 + x7),
где все хк неотрицательные числа, сумма которых равна 1.