декабрь 2008 года

248. В олимпиаде принимает участие n школьников. При регистрации участников выяснилось, что среди любой группы из к человек обязательно найдутся двое знакомых, 2<=k<=n. Найти наименьшее возможное число пар знакомых среди всех участников олимпиады.

249. Числа x и y из промежутка [-π, π] таковы, что cos 2nx > cos 2ny для всех целых неотрицательных чисел n. Доказать, что x = 0.

250. Каково наибольшее число прямых на плоскости, на которых существуют не менее 8 точек и таких, что на каждой прямой лежит не менее трех из этих точек?

251. В выпуклом четырехугольнике АВСD диагонали пересекаются в точке О. Обозначим окружности, описанные около треугольников ОАВ, ОВС, ОСD,ОDА через ω1, ω2 ,ω3 , ω4 соответственно. Известно, что прямая р, О ϵ р, высекает на окружностях ω1 и ω3 хорды равной длины. Доказать, что хорды, высекаемые прямой р на окружностях ω2 и ω4 , также имеют равные длины.

252. Последовательность действительных чисел {a_n} такова, что a₀=a, a_n+1=(a_n²-1)/(n+1). Доказать, что существует такое положительное число А, что если а ≥ А, то lim a_n = +∞, а если 0<a<A, то lim a_n = 0.