декабрь 2004 года

66. На острове зарыто некоторое число кладов, которые делят между собой несколько пиратов (все разной силы). Координаты кладов известны всем пиратам. Они договорились о том, что клад в данный момент принадлежит тому из пиратов, который находится к нему ближе остальных. Если несколько пиратов находятся на одинаковом расстоянии от клада, то клад достается наиболее сильному из них. Перед началом дележа каждому из них принадлежит хотя бы один клад. В первый момент времени каждый пират перемещается в такую точку острова, каждая координата которой является средним арифметическим соответствующих координат кладов, которыми данный пират владеет. В следующий момент каждый пират определяет какие клады принадлежат ему после перемещения и вновь перемещаются по тому же правилу, что и в первый момент. Если после очередного перемещения у одного из пиратов не оказалось ни одного клада, он выбывает из дележа. Доказать, что дележ закончится через конечное число перемещений.

67. Уравнение

х⁶ - 6x⁵ +15x⁴ + ax³ + bx² +cx + d = 0

имеет шесть действительных корней. Найти коэффициенты a,b,c,d.

68. Доказать, что существует число вида 5ⁿ (n - натуральное), десятичная запись которого содержит 100 подряд идущих нулей.

69. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Точки a,b,c,d, являются ортоцентрами треугольников ВСD, CDA, DAB, ABC соответственно. Доказать, что четырехугольники ABCD и abcd равны.

70. Доказать, что для всех положительных x справедливо неравенство

(1+x+x²+...+x²ⁿ) / (x+x³+...+x^2n-1) >= (n+1) / n.