март 2006 года

01.03.2006, Вавилов В.В.

131. Даны три действительных числа a, b, c. Известно, что для любого натурального n выполнено равенство

[na] + [nb] = [nc]

Доказать, что хотя бы одно из чисел a и b является целым числом.

132. Даны вещественные числа a и r, причем r > 0 и a не равно 0. Последовательность {r_n} определена рекуррентным соотношением

.

а) Доказать, что {r_n} не является неубывающей последовательностью.

б) Доказать, что для любого числа N можно подобрать числа a и r так, что

r₁ < r₂ < ... < r_N.

133. Доказать, что если x,y,z,w – действительные числа, такие, что

x + y + z + w = x⁷ + y⁷ + z⁷ + w⁷ = 0,

то

w(w + x)(w + y) (w + z) = 0.

134. Из медиан остроугольного треугольника составлен другой треугольник. Пусть R и R_m - радиусы окружностей, описанных около первого и второго треугольников соответственно. Доказать, что

R_m > 5/6 R.

135. В пирамиду ABCD вписан шар с центром О. Найти величину угла между плоскостями DOB и DOC, если известно, что прямые OD и AD перпендикулярны.