январь 2005 года

71. На плоскости расположено 100 точек так, что расстояние между любыми двумя из них не больше единицы. Две из этих точек, удаленные друг от друга на расстояние больше чем 1/cos36^o, соединяются отрезком. Доказать, что число проведенных отрезков не превосходит 3750.

72. Доказать неравенство

min (a_i-a_j)² <= 12 (a₁²+a₂²+...+a_n²) / (n(n²-1)),

где a₁, a₂, ..., a_n - действительные числа.

73. На бесконечном листе клетчатой бумаги (со стороной клетки 1) некоторые стороны клеток окрашены краской так, что из любого узла можно перейти в любой другой узел по окрашенным отрезкам, при этом отсутствуют замкнутые пути. Доказать, что существуют такие два соседних узла, что кратчайший путь из одного в другой по окрашенным линиям больше 1000.

74. Вычислить сумму

tg(1) tg(2) + tg(2) tg(3) + ... + tg(n-1) tg(n).

75. На сторонах треугольника АВС как на основаниях построены равнобедренные треугольники APB, AQC и CRB (AP=PB, AQ=QC,CR=RB). Треугольники APB и AQC лежат вне треугольника ABC, а треугольник CRB расположен по ту же сторону от отрезка ВС, что и треугольник АВС. Доказать, что четырехугольник APRQ является параллелограммом.