январь 2006 года

121. На бесконечном листе клетчатой бумаги отмечено n клеток. Назовем две клетки соседними, если они имеют общую сторону или общую вершину. Доказать, что из отмеченных клеток можно выбрать k  n/4 клеток так, чтобы никакие две из них не были соседними.

122. Уравнение x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0 имеет шесть действительных корней. Найти коэффициенты a,b,c,d.

123. Доказать, что существует натуральное число n, 1 <= n <= 2005, такое что

||e·n^1/2|| < 1/60,

где ||x|| обозначает расстояние от х до ближайшего целого числа.

124. В тетраэдр с площадью поверхности S вписана сфера. Найти максимально возможное значение площади треугольника, получающегося в сечении тетраэдра плоскостью, параллельной одной из граней тетраэдра и касательной к сфере.

125. Доказать, что для любого простого числа р многочлен

1 + х + х² + ... + х^р-1

нельзя представить в виде произведения двух многочленов степеней не меньше первой и с неотрицательными действительными коэффициентами.