ноябрь 2004 года

61. На клетчатом листе бумаги нарисован квадрат со стороной 64, а в нем отмечено 62 квадрата со сторонами 1,2,3, ..., 62 (стороны всех 63 этих квадратов проходят по линиям клетчатого листа). Доказать, что хотя бы один из отмеченных квадратов содержит другой отмеченный квадрат.

62. Ученик начертил четырехугольник АВСD и измерил длины его сторон и диагоналей. Он получил следующие результаты: АВ = 6, ВС = 7, СД = 8, ДА = 9, АС = 10, ВД =11. Докажите, что его измерения неточны.

63. Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел такая, что сумма любых нескольких членов этой последовательности не представляется в виде степени натурального числа с натуральным показателем, большим единицы?

64. Доказать, что для любых чисел х₁, х₂, ...,х_n из отрезка [0,1] справедливо неравенство

65. Имеются два тетраэдра, проекции которых на любую плоскость пространства являются многоугольниками с одинаковым числом вершин. Доказать, что эти тетраэдры равны.