январь 2003 года

1. Двузначное число таково, что если его умножить на обе его цифры, то получится число с тремя одинаковыми цифрами. Найти все такие числа.

2. Решить систему уравнений: х² - 2 = у, y² - 2 = z, z² - 2 = x.

3. Точки D и E лежат на стороне BC треугольника ABC. Известно, что BD = CE и что углы BAD и CAE равны. Доказать, что треугольник ABC равнобедренный.

4. Поместить внутри правильного шестиугольника со стороной 1 квадрат возможно больших размеров. Найти сторону этого квадрата.

5. Доказать, что на координатной плоскости не существует замкнутой ломаной с нечетным числом звеньев, у которой координаты всех вершин рациональны, а длина каждого звена равна 1.