апрель 2009 года

268. Пусть р(х)=(х-а₁)(х-а₂)...(х-а_n)-2, где n≥3, a₁, a₂, ..., a_n - различные целые числа. Доказать, что если р(х) = g(x)h(x), где g(x) и h(x) многочлены с целыми коэффициентами, отличными от 1, то n = 3.

269. В выпуклом многоугольнике А₁А₂...А_к на сторонах А₁А₂, А₂А₃,...,А_кА₁ отмечены точки В₁, В₂, ..., В_к. Известно, что в многоугольники А₁А₂...А_к и В₁, В₂, ..., В_к можно вписать окружности радиусов R и r соответственно, и что радиусы окружностей, вписанных в треугольники В₁А₂В₂, В₂А₃В₃, ..., В_кА₁В₁ равны d. Доказать, что R= r + d.

270. Доказать, что последовательность {a_n} с общим членом a_n=[2^1/2n] содержит бесконечно много квадратов натуральных чисел.

271. На замкнутую нить нанизаны 23 бусинки, окрашенные в несколько цветов. Два участка расположенных рядом бусинок считаются одинаковыми, если они содержат одинаковое число бусинок и порядок следования цветов в направлении часовой стрелки одинаков. Доказать, что нить можно разрезать так, что любые два участка, примыкающие к разрезу с разных сторон, будут различны.

272. Найти все непрерывные вещественные функции, определенные на всей числовой прямой и такие, что

f((x+y)/(x-y))=(f(x)+f(y))/(f(x)-f(y)).