июнь – август 2005 (летний исследовательский цикл задач)

96. Верно ли, что

1/m_a + 1/m_b + 1/m_c > 5/p,

где m_a, m_b, m_c - медианы треугольника и р - полупериметр?

97. Для любого ли натурального числа b

при подходящем выборе натурального числа а?

98. Справедливость равенства

[3ⁿ / 2ⁿ] = [3ⁿ / (2ⁿ-1)], n > 2

установлена для 3 <= n <= 150. Однако неизвестно, является ли это равенство тождеством. Что можно добавить к указанному результату вычислительного характера?

99. Сколько различных ненулевых решений (х,у), х² + у² > 0, может иметь алгебраическая система уравнений

x⁵ = a₁y⁵ + a₂x³y⁵ + a₃x⁶y⁸,

y⁵ = b₁x⁵ + b₂x⁵y³ + b₃x⁸y⁶

с положительными коэффициентами?

100. Задача о полном описании (на плоскости комплексного параметра а) бифуркаций фазового портрета в системе при малых комплексных µ до сих пор остается не решенной. (Правдоподобные гипотезы и некоторые результаты, конечно, имеются). Попробуйте рассмотреть частные случаи этой задачи.