февраль 2006 года

01.02.2006, Вавилов В.В.126. Найти целые положительные решения уравнения

17 (xyzt + xy + xt + zt + 1) - 54 (yzt + y + t) = 0.

127. Доказать, что

где S_n - площадь, p_n - периметр, A_i - углы выпуклого n-угольника.

128. Пусть AX, BY, CZ - три чевианы треугольника АВС, которые пересекаются в точке D. Доказать, что если около двух из четырехугольников DYAZ, DZBX, DXCY можно описать окружность, то и около оставшегося третьего также можно описать окружность.

129. Пусть f(x) = xⁿ, n = 1,2,3,... Доказать, что бесконечная десятичная дробь

0,f(1)f(2)f(3)...

является представлением иррационального числа.

130. Внутри куба с длиной ребра 1см находится несколько треугольников площадью 13 см². Доказать, что найдется прямая, пересекающая не менее пяти треугольников.