сентябрь 2008 года

233. Для каких значений n в клетках таблицы n × n можно расставить числа -1,0,1 так, чтобы все 2n сумм чисел в строках и столбцах этой таблицы были различны?

234. Доказать, что для действительных чисел t₁ , t₂, ... , t_n таких, что 0 ≤ t₁ ≤ t₂ ≤ ... ≤ t_n < 1 имеет место неравенство

(1-t_n)² ( t₁/(1-t₁²)² + t₂²/(1-t₂³)² + ... + t_nⁿ/(1-t_nⁿ⁺¹)² ) < 1.

235. В треугольнике АВС на стороне АВ выбрана точка D. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD равны. Доказать, что

CD² = S ctg(C/2),

где S – площадь треугольника АВС.

236. Многочлен р(x) = xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n имеет n действительных корней, отличных от нуля, n ≥ 3. Известно, что a_n-2=0, a_n-1/a_n>n+1. Доказать, что по крайней мере один нуль многочлена р(х) принадлежит интервалу (-1/2,0).

237. Доказать, что если при некотором преобразовании инверсии эллипс переходит в эллипс, то оба этих эллипса являются окружностями.