январь 2008 года

208. Положительные числа a, b и c таковы, что a + b + c = 180^o. Доказать, что из отрезков с длинами sin a, sin b, sin c можно составить треугольник и что его площадь не превосходит

1/8 (sin 2a + sin 2b + sin 2c).

209. Доказать, что элементы множества М=(1,2,...,1987) можно раскрасить четырьмя красками так, что никакая конечная арифметическая прогрессия (с ненулевой разностью) из 10 членов, составленная из элементов множества М, не будет одноцветной.

210. Решить в натуральных числах уравнение xⁿ+yⁿ=(x-y)ⁿ⁺¹, n - натуральное.

211. Через точку Р проходит три окружности К₁, К₂ и К₃ с центрами О₁, О₂ и О₃; К₁ пересекается с К₂ в точке А, К₂ с К₃ – в точке В, К₃ с К₁ – в точке С. Пусть Х – произвольная точка окружности К₁, отличная от А, С. Прямая ХА пересекается с К₂ в точке Y, а прямая ХС пресекается с К₃ в точке Z.

а) Доказать, что точки Z,B,Y лежат на одной прямой.

б) Доказать, что площадь треугольника XYZ не превосходит учетверенной площади треугольника О₁О₂О₃.

212. В городе, в котором живут n супружеских пар, есть несколько клубов. Известно, что никакие муж и жена не являются членами одного клуба, а любые два жителя города, не являющиеся супругами, посещают вместе ровно один клуб. Доказать, что если n>3, то количество клубов не меньше 2n.