февраль 2005 года

76. а) Докажите, что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней принадлежат одной сфере. (Эта сфера называется сферой двенадцати точек равногранного тетраэдра.)

б) Докажите, что в ортоцентрическом тетраэдре окружности девяти точек всех четырех граней лежат на одной сфере. (Эта сфера называется сферой двадцати точек тетраэдра)

77. В квадратной таблице n x n расставлены буквы так, что все строки таблицы различны. Докажите, что можно вычеркнуть один из столбцов таблицы так, что в полученной таблице n x (n-1) все строки будут по прежнему различны.

78. На множестве действительных чисел введена новая операция x # y такая, что для любых x,y,z

1) (x + y)(x # y) = x² # y²,

2) x # y = (x + z) # (y + z),

3) 1 # 0 = 1.

Найти эту операцию (выразить через известные).

79. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD и CE и точка О - точка их пересечения. На отрезках ОА и ОС взяты точки М и К соответственно так, что углы ВМС и ВКА - прямые. Докажите, что ВК = ВМ.

80. Какие натуральные числа можно представить в виде

[n + n^1/2 + 1/2],

где n - натуральное число?