октябрь 2008 года

238. Пусть х, у – положительные действительные числа и 1<=y<=x. Доказать, что

(x-y) ln(1+1/x) ln(1+1/y) >= ln(x(y+1)/y(x+1)).

239. Для каких целых значений параметра а, уравнение 108х²+18х+1=а³ имеет целое решение?

240. Строго возрастающая последовательность {a_n} состоит из натуральных нечетных чисел. Доказать, что для любого n найдется натуральное число k такое, что

a₁+...+a_n <= k² <= a₁+...+a_n+1.

241. Найти все функции f: R→R такие, что f(x²-y²) = f²(x)-f²(y), x,yϵR.

242. Пусть М = {1,2,...,n}. Найти наименьшее натуральное число m, для которого существует семейство подмножеств А₁,..., A_j множества М, такое что

а) М = А₁ U A₂ U ... U A_j ;

б) для любых двух различных элементов a,b из М найдется подмножество А_k такое, что множество А_k∩{a,b} содержит ровно один элемент.