октябрь 2007 года

194. Существуют ли множество из n натуральных чисел таких, что для любых двух различных чисел из этого множества их сумма делится на их разность?

195. В выпуклом четырехугольнике ABCD углы CAD и BDA равны 30^o. Внутри стороны ВС взята произвольная точка К. Точки L и M на сторонах АВ и CD выбираются так, что KL и KM параллельны диагоналям АС и BD соответственно. Легко видеть, что на AD найдется точка N, такая, что KLMN – параллелограмм. Пусть Р – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника LNM, и прямой AD. Доказать, что Р является центром окружности, описанной около треугольника KLM.

196. Доказать, что для положительных действительных чисел выполняется неравенство

(a₁b₂ + b₁a₂ + a₂b₃ + b₂a₃ + a₃b₁ + b₃a₁)² >= 4(a₁a₂ + a₂a₃ + a₃a₁)(b₁b₂ + b₂b₃ + b₃b₁).

197. Две различные окружности S₁ и S₂ одинакового радиуса с центрами в точках А и В соответственно касаются в точке С. Окружность S₃ c центром в точке M проходит через точку А и касается окружности S₂ внешним образом в точке Т. Точка D выбрана на S₂ так, что луч BD параллелен лучу АМ м направлен в ту же сторону. Точка К является серединой отрезка СВ, а L - точка пересечения прямых KM и CD. Доказать, что точки B,K,L,T,D лежат на одной окружности.

198. (Теорема Ламе.) К натуральным числам a и b, a > b, применяется алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя этих чисел. Доказать, что число делений с остатком не превосходит 5р, где р - количество цифр в десятичной записи числа b.