май 2008 года

228. («Ломонсов-2008»). На числовой прямой отмечены 4 красные точки, соответствующие первым членам геометрической прогрессии с первым членом 3 и знаменателем -2, а также 4 зеленые точки, соответствующие первым членам некоторой арифметической прогрессии с первым членом -12. Какова при этом наименьшая возможная сумма длин 4 отрезков с разноцветными концами, включающими все 8 отмеченных точек? (Каждая из 8 точек является концом одного из отрезков.)

229. Решить в целых положительных числах систему уравнений

х³-y³-z³=3xyz, x²=2(y+z).

230. На плоскости дан прямоугольник ОАВС единичной площади и прямая l, имеющая с прямоугольником единственную общую точку О. Точки A’,B’,C’ являются ортогональными проекциями точек А,В,С на прямую l соответственно. Доказать, что площадь одного из треугольников ОАA’, OBB’, OCC’ не превосходит (1/20)^1/2.

231. Действительные числа a,b,c таковы, что существует ровно один квадрат, все вершины которого лежат на кубической кривой y=x³+ax²+bx+c. Найти сторону квадрата.

232. На сфере единичного радиуса заданы n точек. Доказать, что сумма квадратов расстояний между ними не превосходит n².