сентябрь 2004 года

51. Доказать, что по окончании волейбольного турнира 2ⁿ команд (в один круг) можно выбрать команды К₁, К₂,... , К_n+1 так, что каждая из команд К_j, j ≤ n, выиграла у всех команд K_j+1, ..., K_n+1.

52. Известно, что уравнение

х² + y²- az²- au² = 0,

где а - целое число, имеет ненулевое решение в целых числах. Доказать, что тогда и уравнение

x² + y² - az² = 0

имеет ненулевое решение в целых числах.

53. Найти все простые четырехугольники такие, что на их сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, что сумма шести полученных векторов будет равна нулю.

54. «Изобретатель» придумал прибор, позволяющий через любую данную точку плоскости провести прямую, делящую площадь данной фигуры пополам. При помощи этого прибора, циркуля и линейки

а) разделить данный угол на три равные части.

б) построить квадрат по площади равного площади данного круга.

55. Дано 16 кубов с длинами ребер соответственно равных 1,2, 3, ..., 16. Разделить их на две группы так, чтобы в обеих группах были равны: суммарные объемы, суммы площадей боковых поверхностей, суммы длин всех ребер и количество кубов.