декабрь 2005 года

116. Доказать, что если a, b, c являются длинами сторон треугольника, то

(2a + 2b - c)(2b + 2c - a)(2c + 2a - b) > 25abc.

117. Каждой паре (k,m) натуральных чисел поставлено в соответствие действительное число u(k,m), 0 <= u(k,m) <= 1, причем 2u(k, m) = u(k+1,m) + u(k, m+1), k, m - натуральные. Доказать, что все числа u(k, m) равны между собой.

118. Уравнение

x⁶ - 6x⁵ + 15x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0

имеет шесть действительных корней. Найти коэффициенты a,b,c,d.

119. Последовательность a_n задана формулой

a_n = 1ⁿ + 2^n-1 + 3^n-2 + ... + (n-1)² + n, n - натуральное.

Найти min(a_n+1/a_n) по всем натуральным n.

120. В тетраэдр с площадью поверхности 1 вписана сфера. Найти максимально возможное значение площади треугольника, получающегося в сечении тетраэдра плоскостью, параллельной оlной из граней тетраэдра и касательной к сфере.