апрель 2006 года

25 апреля – День рождения А.Н. Колмогорова. Мы предлагаем задачи, которые (по разным свидетельствам) решал юный Андрюша Колмогоров.

136. Сколькими различными способами можно пришить пуговку к рубашке так, чтобы не осталось на пуговке свободных дырок и от каждой дырки тянулась одна или две ниточки?

137. Какая последняя цифра у числа, полученного умножением числа два на себя сто раз? Чему равна предпоследняя цифра у этого числа? Сколько будет цифр у этого числа?

138. а) Путник вышел из села в город в 4 часа утра, проходя в час 3,75 версты. В 7 часов утра выехала почтовая тройка из того же села, которая проезжала в час 6 верст. В котором часу почтовая тройка догонит путника, и на каком расстоянии от села?

б) В 9 часов 25 минут утра путник отправился из города А в город Б. Идя с одинаковой скоростью, он прибыл в Б в 13 часов 15 минут. На следующий день в 11 часов утра путник отправился из Б в А, идя равномерно, но несколько скорее, чем он шел накануне, прибыл в А в 14 часов 40 минут. Зная, что между пунктами 12 верст, определить на каком расстоянии от А находится место, через которое он проходил в один и тот же час в каждый из этих дней?

139. Из статьи А.Н. Колмогорова: «Радость математического «открытия» я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность:

1 = 1²,

1+3 = 2²,

1+3+5 = 3²,

и так далее…».

В чем состоит отмеченная закономерность и как ее доказать?

140. На каждой строке шахматной доски 7x7 находятся карточки, заполненные числами от 1 до 7 таким образом, что в каждой строке присутствуют все числа от 1 до 7. Найти сумму кубов чисел, записанных на карточках, которые расположены на главной диагонали, если известно, что на симметричных полях относительно главной диагонали находятся карточки, на которых записаны одинаковые числа. Тот же вопрос для шахматной доски 39x39.