январь 2004 года

31. Можно ли подобрать 100 натуральных чисел так, чтобы разность двух любых из них равнялась наибольшему общему делителю этой пары чисел? (С.И.Токарев; см. “Математика в школе”, 2(1998), задача 4310).

32. Совет директоров большой компании, состоящий из 15 человек, решил образовать из своих членов 20 комитетов. Можно ли сформировать эти комитеты так, что

- каждый член совета входит в 4 комитета;

- каждый комитет состоит из трех членов;

- нет двух комитетов, включающих более одного общего члена.

33. Докажите, что круг не равносоставлен никакому многоугольнику.

34. Куб разбит на конечное число прямоугольных параллелепипедов так, что объем шара, описанного около куба, равен сумме объемов шаров, описанных около параллелепипедов разбиения. Доказать, что все параллелепипеды являются кубами.

35. В теннисном турнире принимали участие 10 игроков. Каждый играл с каждым только один раз. В этом турнире если игрок i выигрывал партию у игрока j, то количество партий, который проиграл i плюс количество партий, которые выиграл j не меньше 8. Скажем, что три игрока i,j,k образуют нетипичную тройку игроков, если i выиграл у j, j выиграл у k и k выиграл у i. Докажите, что в этом турнире участвовало ровно 40 нетипичных троек игроков.