апрель 2005 года

86. Доказать, что не существует квадрата, вершины которого расположены на четырех концентрических окружностях, радиусы которых образуют арифметическую прогрессию.

87. Найти наименьшее натуральное число n такое, чтобы числа 2n+1 и 37n+1 были квадратами некоторых чисел.

88. Объем тетраэдра ABCD равен V. На луче [A,B) выбрана точка Е такая, что AE = 2AB. Аналогично на лучах [BC), [CD) [DA) отмечаются точки F,G,H. Найти объем тетраэдра EFGH.

89. При помощи циркуля и линейки построить окружность, касающуюся данной окружности S и проходящую через две точки А и В, расположенные внутри S.

90. Пусть х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ - действительные числа. Составим десять сумм по три слагаемых в каждой:

х₁+х₂+х₃, х₁+х₂+х₄, ..., х₃+х₄+х₅.

Найти наименьшее число n со следующим свойством: если n из указанных сумм равны нулю, то

х₁ = х₂ = х₃ = х₄ = х₅ = 0.