ноябрь 2005 года

111. Докажите, что каждая точка окружности |z|=1 является предельной точкой для множества нулей уравнений вида

zⁿ + z^m + 1 = 0,

где n > m – натуральные числа. Докажите аналогичное утверждение для уравнений вида

z^k₁ + z^k₂ + ... + z^k_s + 1=0.

112. Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. Верно ли, что если три чевианы треугольника конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке) и делят его на шесть (пять, четыре, три) равновеликих треугольников, то эти чевианы являются медианами?

113. Все вершины выпуклого многоугольника Р являются узлами клетчатой бумаги. Доказать, что

N_e <= 2N_i + 7,

где N_e - число всех узлов клетчатой бумаги расположенных на границе Р, а N_i > 0 - число узлов внутри Р. Доказать, что равенство достигается только для одного единственного треугольника.

114. В плоскости даны две точки О и Н; обозначим через Т - любой треугольник (этой плоскости), для которого точка О является центром его описанной окружности, а Н - ортоцентром. Найти множество вершин треугольников Т. Выделить из него множества точек, где могут находится вершины тупоугольных и прямоугольных треугольников.

115. Найти рациональную функцию f(x) такую, что

f(x) = f(x-1) = f(1/x)

при всех x, отличных от 0.