ноябрь 2008 года

243. Найти все натуральные числа n, для каждого из которых существует делитель d числа n²+1, удовлетворяющий неравенству |d-n|<n^1/2.

244. Пусть р(х) = х^4-18х³+ах²+200х-1984. Какие значения может принимать параметр а, если известно, что многочлен р(х) имеет два вещественных корня и их произведение равно (-32)?

245. Пусть m_c, l_c, h_c обозначают длины медианы, биссектрисы и высоты прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С, с>a>=b. Найти пределы отношений (m_c-h_c)/(l_c-h_c), (m_c-l_c)/(m_c-h_c), (m_c-l_c)/(l_c-h_c) при a, стремящемся к b.

246. Пусть a,b,c обозначают длины сторон треугольника АВС, а r,R - радиусы вписанной и описанной окружностей этого треугольника. Доказать, что

1,5<=(ab-2rR)/(ab+2rR)+(bc-2rR)/(bc+2rR)+(ca-2rR)/(ca+2rR)<2

247. Последовательность натуральных чисел {a_n} такова, что а₁=2, а₂=7 и

-0,5<a_n+1-a_n²/a_n-1<=0,5, n>1.

Доказать, что все числа последовательности являются нечетными числами.