сентябрь 2005 года

101. В круг вписан выпуклый шестиугольник ABCDEF. Доказать, что его диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда AB·CD·EF = BC·DE·FA.

102. Последовательность x_n такова, что

x₁ = a, x₂ = b и x_n+1 = |x_n| - x_n-1, n >= 3.

Доказать, что последовательность x_n периодична.

103. Доказать, что существует такая перестановка р₁, р₂, ..., p_n чисел 1,2, … , n, что для всех k = 1, 2, ..., n-1 сумма чисел

p₁ + p₂ + ... + p_k

делится на p_k+1.

104. На сторонах четырехугольника ABCD, как на гипотенузах, построены с внутренней стороны равнобедренные прямоугольные треугольники ABK, BCL, CDM, DAN. Доказать, что точки К и М совпадают тогда и только тогда, когда совпадают точки L и N.

105. Даны два равновеликих выпуклых многогранника. Доказать, что первый многогранник можно разбить на несколько тетраэдров А₁, А₂, .., А_n и второй - на такое же количество тетраэдров В₁, В₂, ..., В_n так, что для всех k (1<=k<=n) тетраэдры A_k и B_k равновелики.