ноябрь 2006 года

154. Доказать, что если уравнение

х² - 2у² = n, n - натуральное,

разрешимо в целых числах, то существует его решение, для которого 0 < x <= n^(1/2).

155. Углы В и С треугольника АВС равны 80^o, точка D лежит на стороне АВ и АD = ВС. Найти величину угла ВСD.

156. Из одинаковых полосок размера 1xN, N натуральное, сложен прямоугольник. Доказать, что длина хотя бы одной из его сторон делится на N.

157. Решить в целых положительных числах систему уравнений

a³ - b³ - c³ = 3abc, a² = 2 (b + c).

158. Центр описанной сферы тетраэдра находится внутри его, радиус сферы равен 1см. Докажите, что сумма длин всех ребер тетраэдра больше 6 см.