февраль 2009 года

258. Доказать, что для любого натурального n существует многочлен Р степени n с целыми коэффициентами и такой, что для любого многочлена Q с целыми коэффициентами, степень которого меньше n, многочлен PQ+1 нельзя представить в виде произведения двух многочленов с целыми коэффициентами P₁ и Q₁, если только P₁≠0 и Q₁≠1, Q₁≠-1.

259. На плоскости отмечено конечное множество точек, окрашенных в красный или синий цвет. Никакие четыре точки этого множества не лежат на одной прямой. Точек каждого цвета четное число. Доказать, что существует прямая, не проходящая через точки этого множества, и такая, что в полуплоскостях, определяемых этой прямой, точек каждого цвета равное число.

260. Последовательность целых чисел {a_n} такова, что

a₀=0, a₁=1, a_n+2=2a_n-1+a_n (n≥2).

Доказать, что для любых натуральных k и n число 2^k делит a_n тогда и только тогда, когда число 2^k делит n.

261. шесть окружностей ω₁, ..., ω₆, расположенных внутри окружности ω, касаются ее в точках А₁, ..., А₆ соответственно. Кроме того, окружности ω₁ и ω₂, ω₂ и ω₃, ..., ω₆ и ω₁ касаются друг друга внешним образом. Доказать, что

А₁А₂∙А₃А₄∙А₅А₆=А₂А₃∙А₄А₅∙А₆А₁.

262. Пусть F конечное множество дифференцируемых функций, заданных на всей числовой оси, содержащее больше двух элементов и обладает следующим свойством: если f,g принадлежат F, то и f(g) принадлежит F. Доказать, что среди функций из F существует функция, являющаяся тождественно постоянной.