февраль 2003 года

6. Найти все натуральные n, для которых число n⁴+4ⁿ является простым числом. Что можно сказать о n¹⁶+16ⁿ и n^k+kⁿ?

7. Уравнение ax²-bx+c=0, где а - натуральное число, b и c - целые числа, имеет два различных корня, которые расположены строго внутри интервала (0;1). Доказать, что а>=5.

8. Доказать, что

9. Пусть Р - точка внутри тетраэдра ABCD. Прямые AP,BP, CP, DP пересекают противоположные грани тетраэдра в точках A’,B’,C’,D’ соответственно. Доказать, что точка P не может быть серединой более чем одного из отрезков AA’,BB’,CC’,DD’.

10. Все вершины треугольника АВС имеют целые координаты, а строго внутри этого треугольника имеется ровно одна точка Р с целыми координатами. Прямая АР пересекает ВС в точке Е. Найти наибольшее значение, которое может принимать отношение АР/ PE.