март 2009 года

263. На круговой автотрассе находится n автомобилей. По сигналу все они одновременно с равными скоростями начинают двигаться по трассе каждый в своем направлении. Если два автомобиля встречаются, то они мгновенно разворачиваются и начинают двигаться с теми же скоростями в противоположных направлениях. Доказать, что в некоторый момент времени все автомобили займут первоначальное положение.

264. Построить пример последовательности {x_n} действительных чисел такой, что для любой возрастающей и ограниченной последовательности действительных чисел {y_n} найдется номер n, для которого |x_n-y_n| ≤ 1/n.

265. Известно, что

(cos x+cos y+cos z)/cos(x+y+z)=(sin x+sin y+sin z)/sin(x+y+z)=a.

Доказать, что

cos(x+y) + cos(y+z) +cos(z+x) = a.

266. Покажите, что любые две точки, лежащие внутри правильного n-угольника М могут быть соединены двумя дугами окружностей, лежащими внутри М и образующими в точках пересечения угол не менее (1-2/n)π.

267. Последовательность {a_n} натуральных чисел такова, что a₁=1, a_n+1=n+1-a_an. Найти а₂₀₀₉.