октябрь 2003 года

21. Ученик, используя свои записи, должен был написать на доске шесть членов арифметической прогрессии, составленной из натуральных чисел. В итоге он написал только пять членов 113, 137, 149, 155, 173; при этом ошибся при записи одного из этих пяти чисел. Можно ли восстановить все шесть членов прогрессии?

22. Пусть АВС остроугольный треугольник и р - прямая, проходящая через его ортоцентр. Доказать, что три прямые, симметричные р относительно сторон АВС, пересекаются в одной точке.

23. Какую наибольшую площадь имеет правильный треугольник, который можно покрыть тремя равносторонними треугольниками со сторонами 1?

24. Доказать, что для любых действительных чисел a и b существует действительное число с, 0<c<1, такое что

| ac + b + 1/(c+1) | > 1/24.

25. Для каждого n >= 3 найти наименьшее f(n) со следующим свойством: среди любых f(n) натуральных чисел, не превосходящих n, найдутся три попарно взаимно простых числа.