март 2005 года

81. Стороны треугольника являются корнями уравнения третьей степени с целыми коэффициентами. Докажите, что высоты являются корнями уравнения шестой степени с целыми коэффициентами. Обладают ли похожими свойствами медианы и биссектрисы?

82. Пусть р(х) = ах³ + bx² + cx + d. Числа х₁, х₂, х₃ являются корнями (х₁< х₂ < х₃) уравнения р(х) = А, а числа у₁, у₂, у₃ - корнями (в порядке возрастания) уравнения р(х) = В, А < В. Докажите, что у₃ - х₃ = (у₂ - х₂) + (у₁ - х₁).

83. Существует ли треугольник, который можно разрезать на три части по высоте и по биссектрисе, выходящих из одной вершины, из которых можно сложить другой треугольник?

84. Найти все целые числа a,b,c,d такие, что

a² + b² + c² + d² = a²b²c².

85. Четыре вершины куба, не лежащие в одной плоскости, имеют целые координаты в прямоугольной декартовой системе координат. Доказать, что координаты всех вершин куба - целые числа.