январь 2007 года

164. Доказать, что уравнение

xⁿ + yⁿ = zⁿ , n>2,

не имеет решений в натуральных числах x,y,z, два из которых являются степенями различных простых чисел.

165. Продолжения биссектрис АА₁, ВВ₁, СС₁ внутренних углов треугольника АВС пересекают соответственно описанную около него окружность в точках А₂, В₂, С₂. Доказать, что

AA₁/AA₂ + BB₁/BB₂ + CC₁/CC₂ <= 9/4.

166. Пусть а₁, а₂, ..., a_n - различные натуральные числа. В сумме

sin а₁ + sin а₂ + ... + sin a_n

аргумент каждого слагаемого увеличили на 1/n.

А) Может ли сумма увеличиться на 1?

В) Может ли сумма увеличиться на (n-1)/n?

167. На основании АВ трапеции АВСD дана точка M. Построить на стороне CD такую точку N, чтобы площадь четырехугольника, полученного при пересечении прямых AN, ВN, CM, DM, была наибольшей.

168. Доказать неравенство