апрель 2008 года

223. Найти все пары (p,q) таких простых чисел, что число 2^p-1 делится на q и среди простых делителей числа q-1 имеются только числа 2,3,5 и 7.

224. Доказать, что

[(9n-1)^1/2]=[(n-1)^1/2+n^1/2+(n+1)^1/2], n - натуральное,

где [a] - целая часть числа a.

225. Пусть I – центр вписанной окружности в треугольник АВС окружности, ОА , ОВ, ОС - центры окружностей, описанных около треугольников IBC, IAC, IAB соответственно. Доказать, что окружности, описанные около треугольников АВС и ОАОВОС совпадают.

226. Пусть Р(х,у) обозначает многочлен с действительными коэффициентами от двух переменных и Р(х,у) = 0 для любых действительных х и у таких, что х²+у²=1. Доказать, что существует такой многочлен Q(x,y), что

P(x,y)=(x²+y²-1)Q(x,y).

227. Последовательность {a_n=a(n)} натуральных чисел такова, что

a(a(m)+a(n))=n+m.

Найти все возможные значения для а₂₀₀₈.