декабрь 2006 года

159. Решить в целых числах уравнение х³ - у³ = 2ху + 8.

160. Два треугольника будем называть почти подобными, если их углы отличаются не более чем на 1''.

а) Доказать, что для любого треугольника существует ему почти подобный с целыми сторонами.

б) Для прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом равным 1 не существует почти подобного треугольника со сторонами меньшими 1000.

161. Пусть f_k(x) , k = 1,2,…,n, n>=2, - периодические непрерывные функции и при всех действительных x выполняется

f₁(x) + f₂(x) + ... + f_n(x) = 0.

Докажите, что по крайней мере две из этих функций имеют одинаковый период.

162. Конечно или бесконечно множество таких натуральных n, для которых каждое из чисел n, n + 1 и n + 2 представляется в виде суммы квадратов двух целых чисел?

163. Доказать, что для любого многочлена f(x) четвертой степени с целыми коэффициентами найдется такое действительное число а, 0<=a<=1, такое, что |f(a)| >= 1/16.