февраль 2007 года

01.02.2007, Вавилов В.В.

169. На продолжениях сторон углов А, В и С треугольника АВС отложены отрезки АК=AL, BM=BN, CP=CR, равные соответственно сторонам a,b,c (в стандартных обозначениях) данного треугольника. Доказать, что

[KLMNPR] >= 13 [ABC].

170. Доказать, что многочлен

1 + х¹¹¹¹ + х²²²² + х³³³³ + ... + х⁹⁹⁹⁹

делится на многочлен

1 + х + х² + х³ + ... + х⁹.

171. Четыре окружности w_k (k = 1,2,3,4) одного и того же радиуса проходят через точку М. Пусть точки A_ij - вторые точки пересечения окружностей w_i и w_j. Доказать, что отрезки А₁₂А₃₄, А₁₃А₂₄ и А₁₄А₂₃ пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

172. Доказать, что

а) f(a₁+b₁,a₂+b₂)>f(a₁,a₂)+f(b₁,b₂) ;

б) f((a₁+b₁)/2,(a₂+b₂)/2)>(f(a₁,a₂)+f(b₁,b₂))/2,

где

f(x, y) = (x y^q + y x^q) / (x^q + y^q)

и 0<q<1, 0<a₁<a₂ , 0<b₁<b₂ , a₁/b₁ a₂/b₂.

173. Доказать, что

R² >= 9r² + d²,

где R и r - радиусы шаров, описанного и вписанного в данный тетраэдр, а d - расстояние межу центрами этих шаров.